Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22547 / 47601
↖ ↑ ↗
← S 62.877692°
W 56.145630°		 ← 278.45 m → S 62.877692°
W 56.140137°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
S 62.880197°
W 56.145630°		 ← 278.43 m →
77 539 m²		 S 62.880197°
W 56.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344047546386719 y=0.726341247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344047546386719 × 216)
    floor (0.344047546386719 × 65536)
    floor (22547.5)     		tx = 22547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726341247558594 × 216)
    floor (0.726341247558594 × 65536)
    floor (47601.5)     		ty = 47601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22547 / 47601 ti = "16/22547/47601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22547/47601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22547 ÷ 216
    22547 ÷ 65536     		x = 0.344039916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47601 ÷ 216
    47601 ÷ 65536     		y = 0.726333618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.311920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97992610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726333618164062 × 2 - 1) × π
    -0.452667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42209606412859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97992610} λ = -0.97992610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42209606412859))-π/2
    2×atan(0.241207899429478)-π/2
    2×0.23668678093021-π/2
    0.47337356186042-1.57079632675     		φ = -1.09742276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97992610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09742276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.877692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22547 KachelY 47601 -0.97992610 -1.09742276 -56.145630 -62.877692
    Oben rechts KachelX + 1 22548 KachelY 47601 -0.97983023 -1.09742276 -56.140137 -62.877692
    Unten links KachelX 22547 KachelY + 1 47602 -0.97992610 -1.09746647 -56.145630 -62.880197
    Unten rechts KachelX + 1 22548 KachelY + 1 47602 -0.97983023 -1.09746647 -56.140137 -62.880197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09742276--1.09746647) × R
    4.37100000001411e-05 × 6371000     		dl = 278.476410000899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09742276--1.09746647) × R
    4.37100000001411e-05 × 6371000     		dr = 278.476410000899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97992610--0.97983023) × cos(-1.09742276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455891467710003 × 6371000     		do = 278.452932924613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97992610--0.97983023) × cos(-1.09746647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455852563828246 × 6371000     		du = 278.429170909431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09742276)-sin(-1.09746647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455891467710003-0.455852563828246)×R²
    abs(-0.97983023--0.97992610)×3.89038817564247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89038817564247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89038817564247e-05×40589641000000     		ar = 77539.2645469666m²