Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22547 / 47123
↖ ↑ ↗
← S 61.655987°
W 56.145630°		 ← 289.98 m → S 61.655987°
W 56.140137°		 →
↑
290.01 m
↓
↑
290.01 m
↓
S 61.658595°
W 56.145630°		 ← 289.96 m →
84 093 m²		 S 61.658595°
W 56.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344047546386719 y=0.719047546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344047546386719 × 216)
    floor (0.344047546386719 × 65536)
    floor (22547.5)     		tx = 22547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719047546386719 × 216)
    floor (0.719047546386719 × 65536)
    floor (47123.5)     		ty = 47123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22547 / 47123 ti = "16/22547/47123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22547/47123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22547 ÷ 216
    22547 ÷ 65536     		x = 0.344039916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47123 ÷ 216
    47123 ÷ 65536     		y = 0.719039916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.311920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97992610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.438079833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37626838809181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97992610} λ = -0.97992610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37626838809181))-π/2
    2×atan(0.252519100371553)-π/2
    2×0.247348172208456-π/2
    0.494696344416911-1.57079632675     		φ = -1.07609998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97992610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07609998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.655987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22547 KachelY 47123 -0.97992610 -1.07609998 -56.145630 -61.655987
    Oben rechts KachelX + 1 22548 KachelY 47123 -0.97983023 -1.07609998 -56.140137 -61.655987
    Unten links KachelX 22547 KachelY + 1 47124 -0.97992610 -1.07614550 -56.145630 -61.658595
    Unten rechts KachelX + 1 22548 KachelY + 1 47124 -0.97983023 -1.07614550 -56.140137 -61.658595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07609998--1.07614550) × R
    4.55200000000211e-05 × 6371000     		dl = 290.007920000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07609998--1.07614550) × R
    4.55200000000211e-05 × 6371000     		dr = 290.007920000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97992610--0.97983023) × cos(-1.07609998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.474764424055714 × 6371000     		do = 289.980303844318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97992610--0.97983023) × cos(-1.07614550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.474724360824003 × 6371000     		du = 289.955833712362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07609998)-sin(-1.07614550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474764424055714-0.474724360824003)×R²
    abs(-0.97983023--0.97992610)×4.00632317109073e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00632317109073e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00632317109073e-05×40589641000000     		ar = 84093.0365076857m²