Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22547 / 47117
↖ ↑ ↗
← S 61.640336°
W 56.145630°		 ← 290.13 m → S 61.640336°
W 56.140137°		 →
↑
290.14 m
↓
↑
290.14 m
↓
S 61.642945°
W 56.145630°		 ← 290.10 m →
84 173 m²		 S 61.642945°
W 56.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344047546386719 y=0.718955993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344047546386719 × 216)
    floor (0.344047546386719 × 65536)
    floor (22547.5)     		tx = 22547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718955993652344 × 216)
    floor (0.718955993652344 × 65536)
    floor (47117.5)     		ty = 47117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22547 / 47117 ti = "16/22547/47117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22547/47117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22547 ÷ 216
    22547 ÷ 65536     		x = 0.344039916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47117 ÷ 216
    47117 ÷ 65536     		y = 0.718948364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.311920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97992610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718948364257812 × 2 - 1) × π
    -0.437896728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37569314529637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97992610} λ = -0.97992610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37569314529637))-π/2
    2×atan(0.25266440195259)-π/2
    2×0.247484759186006-π/2
    0.494969518372011-1.57079632675     		φ = -1.07582681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97992610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07582681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.640336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22547 KachelY 47117 -0.97992610 -1.07582681 -56.145630 -61.640336
    Oben rechts KachelX + 1 22548 KachelY 47117 -0.97983023 -1.07582681 -56.140137 -61.640336
    Unten links KachelX 22547 KachelY + 1 47118 -0.97992610 -1.07587235 -56.145630 -61.642945
    Unten rechts KachelX + 1 22548 KachelY + 1 47118 -0.97983023 -1.07587235 -56.140137 -61.642945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07582681--1.07587235) × R
    4.55400000001216e-05 × 6371000     		dl = 290.135340000775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07582681--1.07587235) × R
    4.55400000001216e-05 × 6371000     		dr = 290.135340000775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97992610--0.97983023) × cos(-1.07582681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475004826783583 × 6371000     		do = 290.127138890374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97992610--0.97983023) × cos(-1.07587235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.474964751856573 × 6371000     		du = 290.102661615074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07582681)-sin(-1.07587235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475004826783583-0.474964751856573)×R²
    abs(-0.97983023--0.97992610)×4.00749270091927e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00749270091927e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00749270091927e-05×40589641000000     		ar = 84172.5852386767m²