Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22546 / 47597
↖ ↑ ↗
← S 62.867674°
W 56.151123°		 ← 278.58 m → S 62.867674°
W 56.145630°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
S 62.870179°
W 56.151123°		 ← 278.55 m →
77 592 m²		 S 62.870179°
W 56.145630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344032287597656 y=0.726280212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344032287597656 × 216)
    floor (0.344032287597656 × 65536)
    floor (22546.5)     		tx = 22546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726280212402344 × 216)
    floor (0.726280212402344 × 65536)
    floor (47597.5)     		ty = 47597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22546 / 47597 ti = "16/22546/47597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22546/47597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22546 ÷ 216
    22546 ÷ 65536     		x = 0.344024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47597 ÷ 216
    47597 ÷ 65536     		y = 0.726272583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98002198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726272583007812 × 2 - 1) × π
    -0.452545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42171256893163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98002198} λ = -0.98002198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42171256893163))-π/2
    2×atan(0.241300419239696)-π/2
    2×0.236774211943339-π/2
    0.473548423886678-1.57079632675     		φ = -1.09724790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98002198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09724790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.867674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22546 KachelY 47597 -0.98002198 -1.09724790 -56.151123 -62.867674
    Oben rechts KachelX + 1 22547 KachelY 47597 -0.97992610 -1.09724790 -56.145630 -62.867674
    Unten links KachelX 22546 KachelY + 1 47598 -0.98002198 -1.09729162 -56.151123 -62.870179
    Unten rechts KachelX + 1 22547 KachelY + 1 47598 -0.97992610 -1.09729162 -56.145630 -62.870179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09724790--1.09729162) × R
    4.37200000000804e-05 × 6371000     		dl = 278.540120000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09724790--1.09729162) × R
    4.37200000000804e-05 × 6371000     		dr = 278.540120000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98002198--0.97992610) × cos(-1.09724790) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456047092325299 × 6371000     		do = 278.577041296423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98002198--0.97992610) × cos(-1.09729162) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456008183028671 × 6371000     		du = 278.553273494992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09724790)-sin(-1.09729162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456047092325299-0.456008183028671)×R²
    abs(-0.97992610--0.98002198)×3.89092966281424e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.89092966281424e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.89092966281424e-05×40589641000000     		ar = 77591.5723811695m²