Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22546 / 47119
↖ ↑ ↗
← S 61.645554°
W 56.151123°		 ← 290.11 m → S 61.645554°
W 56.145630°		 →
↑
290.07 m
↓
↑
290.07 m
↓
S 61.648162°
W 56.151123°		 ← 290.08 m →
84 149 m²		 S 61.648162°
W 56.145630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344032287597656 y=0.718986511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344032287597656 × 216)
    floor (0.344032287597656 × 65536)
    floor (22546.5)     		tx = 22546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718986511230469 × 216)
    floor (0.718986511230469 × 65536)
    floor (47119.5)     		ty = 47119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22546 / 47119 ti = "16/22546/47119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22546/47119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22546 ÷ 216
    22546 ÷ 65536     		x = 0.344024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47119 ÷ 216
    47119 ÷ 65536     		y = 0.718978881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98002198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.437957763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37588489289485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98002198} λ = -0.98002198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37588489289485))-π/2
    2×atan(0.252615958804871)-π/2
    2×0.24743922251045-π/2
    0.494878445020901-1.57079632675     		φ = -1.07591788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98002198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07591788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.645554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22546 KachelY 47119 -0.98002198 -1.07591788 -56.151123 -61.645554
    Oben rechts KachelX + 1 22547 KachelY 47119 -0.97992610 -1.07591788 -56.145630 -61.645554
    Unten links KachelX 22546 KachelY + 1 47120 -0.98002198 -1.07596341 -56.151123 -61.648162
    Unten rechts KachelX + 1 22547 KachelY + 1 47120 -0.97992610 -1.07596341 -56.145630 -61.648162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07591788--1.07596341) × R
    4.55299999999603e-05 × 6371000     		dl = 290.071629999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07591788--1.07596341) × R
    4.55299999999603e-05 × 6371000     		dr = 290.071629999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98002198--0.97992610) × cos(-1.07591788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.474924684744803 × 6371000     		do = 290.108446564706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98002198--0.97992610) × cos(-1.07596341) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.474884616648524 × 6371000     		du = 290.083970908793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07591788)-sin(-1.07596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474924684744803-0.474884616648524)×R²
    abs(-0.97992610--0.98002198)×4.00680962798217e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.00680962798217e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.00680962798217e-05×40589641000000     		ar = 84148.6801399309m²