Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22545 / 47599
↖ ↑ ↗
← S 62.872684°
W 56.156616°		 ← 278.50 m → S 62.872684°
W 56.151123°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
S 62.875188°
W 56.156616°		 ← 278.48 m →
77 552 m²		 S 62.875188°
W 56.151123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344017028808594 y=0.726310729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344017028808594 × 216)
    floor (0.344017028808594 × 65536)
    floor (22545.5)     		tx = 22545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726310729980469 × 216)
    floor (0.726310729980469 × 65536)
    floor (47599.5)     		ty = 47599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22545 / 47599 ti = "16/22545/47599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22545/47599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22545 ÷ 216
    22545 ÷ 65536     		x = 0.344009399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47599 ÷ 216
    47599 ÷ 65536     		y = 0.726303100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344009399414062 × 2 - 1) × π
    -0.311981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98011785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726303100585938 × 2 - 1) × π
    -0.452606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42190431653011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98011785} λ = -0.98011785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42190431653011))-π/2
    2×atan(0.241254154899474)-π/2
    2×0.23673049270665-π/2
    0.473460985413301-1.57079632675     		φ = -1.09733534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98011785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.156616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09733534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.872684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22545 KachelY 47599 -0.98011785 -1.09733534 -56.156616 -62.872684
    Oben rechts KachelX + 1 22546 KachelY 47599 -0.98002198 -1.09733534 -56.151123 -62.872684
    Unten links KachelX 22545 KachelY + 1 47600 -0.98011785 -1.09737905 -56.156616 -62.875188
    Unten rechts KachelX + 1 22546 KachelY + 1 47600 -0.98002198 -1.09737905 -56.151123 -62.875188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09733534--1.09737905) × R
    4.37099999999191e-05 × 6371000     		dl = 278.476409999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09733534--1.09737905) × R
    4.37099999999191e-05 × 6371000     		dr = 278.476409999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98011785--0.98002198) × cos(-1.09733534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455969272860411 × 6371000     		do = 278.500455358926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98011785--0.98002198) × cos(-1.09737905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455930370720749 × 6371000     		du = 278.476694407794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09733534)-sin(-1.09737905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455969272860411-0.455930370720749)×R²
    abs(-0.98002198--0.98011785)×3.8902139662178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8902139662178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8902139662178e-05×40589641000000     		ar = 77552.4985717075m²