Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22545 / 39087
↖ ↑ ↗
← S 32.764181°
W 56.156616°		 ← 513.61 m → S 32.764181°
W 56.151123°		 →
↑
513.63 m
↓
↑
513.63 m
↓
S 32.768800°
W 56.156616°		 ← 513.59 m →
263 801 m²		 S 32.768800°
W 56.151123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344017028808594 y=0.596427917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344017028808594 × 216)
    floor (0.344017028808594 × 65536)
    floor (22545.5)     		tx = 22545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596427917480469 × 216)
    floor (0.596427917480469 × 65536)
    floor (39087.5)     		ty = 39087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22545 / 39087 ti = "16/22545/39087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22545/39087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22545 ÷ 216
    22545 ÷ 65536     		x = 0.344009399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39087 ÷ 216
    39087 ÷ 65536     		y = 0.596420288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344009399414062 × 2 - 1) × π
    -0.311981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98011785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596420288085938 × 2 - 1) × π
    -0.192840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.60582653739827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98011785} λ = -0.98011785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60582653739827))-π/2
    2×atan(0.545623262181687)-π/2
    2×0.499476742546673-π/2
    0.998953485093345-1.57079632675     		φ = -0.57184284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98011785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.156616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57184284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.764181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22545 KachelY 39087 -0.98011785 -0.57184284 -56.156616 -32.764181
    Oben rechts KachelX + 1 22546 KachelY 39087 -0.98002198 -0.57184284 -56.151123 -32.764181
    Unten links KachelX 22545 KachelY + 1 39088 -0.98011785 -0.57192346 -56.156616 -32.768800
    Unten rechts KachelX + 1 22546 KachelY + 1 39088 -0.98002198 -0.57192346 -56.151123 -32.768800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57184284--0.57192346) × R
    8.06200000000867e-05 × 6371000     		dl = 513.630020000553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57184284--0.57192346) × R
    8.06200000000867e-05 × 6371000     		dr = 513.630020000553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98011785--0.98002198) × cos(-0.57184284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.840905090628052 × 6371000     		do = 513.614545086345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98011785--0.98002198) × cos(-0.57192346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.840861457752481 × 6371000     		du = 513.587894659576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57184284)-sin(-0.57192346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840905090628052-0.840861457752481)×R²
    abs(-0.98002198--0.98011785)×4.36328755712978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36328755712978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36328755712978e-05×40589641000000     		ar = 263801.004978702m²