Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22543 / 47693
↖ ↑ ↗
← S 63.107184°
W 56.167603°		 ← 276.30 m → S 63.107184°
W 56.162109°		 →
↑
276.31 m
↓
↑
276.31 m
↓
S 63.109669°
W 56.167603°		 ← 276.28 m →
76 342 m²		 S 63.109669°
W 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343986511230469 y=0.727745056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343986511230469 × 216)
    floor (0.343986511230469 × 65536)
    floor (22543.5)     		tx = 22543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727745056152344 × 216)
    floor (0.727745056152344 × 65536)
    floor (47693.5)     		ty = 47693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22543 / 47693 ti = "16/22543/47693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22543/47693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22543 ÷ 216
    22543 ÷ 65536     		x = 0.343978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47693 ÷ 216
    47693 ÷ 65536     		y = 0.727737426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.312042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98030960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727737426757812 × 2 - 1) × π
    -0.455474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43091645365868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98030960} λ = -0.98030960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43091645365868))-π/2
    2×atan(0.239089707171981)-π/2
    2×0.234684087488337-π/2
    0.469368174976674-1.57079632675     		φ = -1.10142815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98030960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.167603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10142815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.107184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22543 KachelY 47693 -0.98030960 -1.10142815 -56.167603 -63.107184
    Oben rechts KachelX + 1 22544 KachelY 47693 -0.98021372 -1.10142815 -56.162109 -63.107184
    Unten links KachelX 22543 KachelY + 1 47694 -0.98030960 -1.10147152 -56.167603 -63.109669
    Unten rechts KachelX + 1 22544 KachelY + 1 47694 -0.98021372 -1.10147152 -56.162109 -63.109669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10142815--1.10147152) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dl = 276.310269999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10142815--1.10147152) × R
    4.3369999999987e-05 × 6371000     		dr = 276.310269999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98030960--0.98021372) × cos(-1.10142815) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.452322881486904 × 6371000     		do = 276.302101594279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98030960--0.98021372) × cos(-1.10147152) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.452284201342508 × 6371000     		du = 276.278473770828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10142815)-sin(-1.10147152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452322881486904-0.452284201342508)×R²
    abs(-0.98021372--0.98030960)×3.86801443960083e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.86801443960083e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.86801443960083e-05×40589641000000     		ar = 76341.8439995423m²