Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22543 / 38915
↖ ↑ ↗
← S 31.966144°
W 56.167603°		 ← 518.22 m → S 31.966144°
W 56.162109°		 →
↑
518.15 m
↓
↑
518.15 m
↓
S 31.970804°
W 56.167603°		 ← 518.20 m →
268 512 m²		 S 31.970804°
W 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343986511230469 y=0.593803405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343986511230469 × 216)
    floor (0.343986511230469 × 65536)
    floor (22543.5)     		tx = 22543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593803405761719 × 216)
    floor (0.593803405761719 × 65536)
    floor (38915.5)     		ty = 38915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22543 / 38915 ti = "16/22543/38915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22543/38915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22543 ÷ 216
    22543 ÷ 65536     		x = 0.343978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38915 ÷ 216
    38915 ÷ 65536     		y = 0.593795776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.312042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98030960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593795776367188 × 2 - 1) × π
    -0.187591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.58933624392897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98030960} λ = -0.98030960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58933624392897))-π/2
    2×atan(0.554695344972683)-π/2
    2×0.506440933624507-π/2
    1.01288186724901-1.57079632675     		φ = -0.55791446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98030960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.167603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55791446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.966144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22543 KachelY 38915 -0.98030960 -0.55791446 -56.167603 -31.966144
    Oben rechts KachelX + 1 22544 KachelY 38915 -0.98021372 -0.55791446 -56.162109 -31.966144
    Unten links KachelX 22543 KachelY + 1 38916 -0.98030960 -0.55799579 -56.167603 -31.970804
    Unten rechts KachelX + 1 22544 KachelY + 1 38916 -0.98021372 -0.55799579 -56.162109 -31.970804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55791446--0.55799579) × R
    8.13299999999906e-05 × 6371000     		dl = 518.15342999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55791446--0.55799579) × R
    8.13299999999906e-05 × 6371000     		dr = 518.15342999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98030960--0.98021372) × cos(-0.55791446) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.848361077715882 × 6371000     		do = 518.222619897402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98030960--0.98021372) × cos(-0.55799579) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.848318017339372 × 6371000     		du = 518.196316402681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55791446)-sin(-0.55799579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848361077715882-0.848318017339372)×R²
    abs(-0.98021372--0.98030960)×4.30603765101401e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.30603765101401e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.30603765101401e-05×40589641000000     		ar = 268512.013528103m²