Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22542 / 47126
↖ ↑ ↗
← S 61.663810°
W 56.173096°		 ← 289.91 m → S 61.663810°
W 56.167603°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
S 61.666417°
W 56.173096°		 ← 289.88 m →
84 035 m²		 S 61.666417°
W 56.167603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343971252441406 y=0.719093322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343971252441406 × 216)
    floor (0.343971252441406 × 65536)
    floor (22542.5)     		tx = 22542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719093322753906 × 216)
    floor (0.719093322753906 × 65536)
    floor (47126.5)     		ty = 47126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22542 / 47126 ti = "16/22542/47126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22542/47126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22542 ÷ 216
    22542 ÷ 65536     		x = 0.343963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47126 ÷ 216
    47126 ÷ 65536     		y = 0.719085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.31207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98040547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.43817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37655600948953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98040547} λ = -0.98040547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37655600948953))-π/2
    2×atan(0.252446480918908)-π/2
    2×0.247279904646318-π/2
    0.494559809292635-1.57079632675     		φ = -1.07623652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98040547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.173096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07623652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.663810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22542 KachelY 47126 -0.98040547 -1.07623652 -56.173096 -61.663810
    Oben rechts KachelX + 1 22543 KachelY 47126 -0.98030960 -1.07623652 -56.167603 -61.663810
    Unten links KachelX 22542 KachelY + 1 47127 -0.98040547 -1.07628202 -56.173096 -61.666417
    Unten rechts KachelX + 1 22543 KachelY + 1 47127 -0.98030960 -1.07628202 -56.167603 -61.666417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07623652--1.07628202) × R
    4.55000000001426e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07623652--1.07628202) × R
    4.55000000001426e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98040547--0.98030960) × cos(-1.07623652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.474644249013233 × 6371000     		do = 289.906902398111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98040547--0.98030960) × cos(-1.07628202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.474604200435202 × 6371000     		du = 289.882441216444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07623652)-sin(-1.07628202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474644249013233-0.474604200435202)×R²
    abs(-0.98030960--0.98040547)×4.00485780301385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00485780301385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00485780301385e-05×40589641000000     		ar = 84034.8124257694m²