Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22542 / 39086
↖ ↑ ↗
← S 32.759562°
W 56.173096°		 ← 513.64 m → S 32.759562°
W 56.167603°		 →
↑
513.63 m
↓
↑
513.63 m
↓
S 32.764181°
W 56.173096°		 ← 513.61 m →
263 815 m²		 S 32.764181°
W 56.167603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343971252441406 y=0.596412658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343971252441406 × 216)
    floor (0.343971252441406 × 65536)
    floor (22542.5)     		tx = 22542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596412658691406 × 216)
    floor (0.596412658691406 × 65536)
    floor (39086.5)     		ty = 39086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22542 / 39086 ti = "16/22542/39086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22542/39086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22542 ÷ 216
    22542 ÷ 65536     		x = 0.343963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39086 ÷ 216
    39086 ÷ 65536     		y = 0.596405029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.31207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98040547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.19281005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.60573066359903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98040547} λ = -0.98040547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60573066359903))-π/2
    2×atan(0.545675575664492)-π/2
    2×0.499517053975279-π/2
    0.999034107950558-1.57079632675     		φ = -0.57176222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98040547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.173096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57176222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.759562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22542 KachelY 39086 -0.98040547 -0.57176222 -56.173096 -32.759562
    Oben rechts KachelX + 1 22543 KachelY 39086 -0.98030960 -0.57176222 -56.167603 -32.759562
    Unten links KachelX 22542 KachelY + 1 39087 -0.98040547 -0.57184284 -56.173096 -32.764181
    Unten rechts KachelX + 1 22543 KachelY + 1 39087 -0.98030960 -0.57184284 -56.167603 -32.764181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57176222--0.57184284) × R
    8.06199999999757e-05 × 6371000     		dl = 513.630019999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57176222--0.57184284) × R
    8.06199999999757e-05 × 6371000     		dr = 513.630019999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98040547--0.98030960) × cos(-0.57176222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84094871803809 × 6371000     		do = 513.641192174832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98040547--0.98030960) × cos(-0.57184284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.840905090628052 × 6371000     		du = 513.614545086345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57176222)-sin(-0.57184284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84094871803809-0.840905090628052)×R²
    abs(-0.98030960--0.98040547)×4.36274100374945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36274100374945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36274100374945e-05×40589641000000     		ar = 263814.692580131m²