Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22540 / 39085
↖ ↑ ↗
← S 32.754942°
W 56.184082°		 ← 513.72 m → S 32.754942°
W 56.178589°		 →
↑
513.69 m
↓
↑
513.69 m
↓
S 32.759562°
W 56.184082°		 ← 513.69 m →
263 889 m²		 S 32.759562°
W 56.178589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343940734863281 y=0.596397399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343940734863281 × 216)
    floor (0.343940734863281 × 65536)
    floor (22540.5)     		tx = 22540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596397399902344 × 216)
    floor (0.596397399902344 × 65536)
    floor (39085.5)     		ty = 39085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22540 / 39085 ti = "16/22540/39085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22540/39085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22540 ÷ 216
    22540 ÷ 65536     		x = 0.34393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39085 ÷ 216
    39085 ÷ 65536     		y = 0.596389770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.3121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98059722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596389770507812 × 2 - 1) × π
    -0.192779541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.605634789799789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98059722} λ = -0.98059722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605634789799789))-π/2
    2×atan(0.54572789416303)-π/2
    2×0.499557367495246-π/2
    0.999114734990492-1.57079632675     		φ = -0.57168159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98059722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57168159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.754942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22540 KachelY 39085 -0.98059722 -0.57168159 -56.184082 -32.754942
    Oben rechts KachelX + 1 22541 KachelY 39085 -0.98050134 -0.57168159 -56.178589 -32.754942
    Unten links KachelX 22540 KachelY + 1 39086 -0.98059722 -0.57176222 -56.184082 -32.759562
    Unten rechts KachelX + 1 22541 KachelY + 1 39086 -0.98050134 -0.57176222 -56.178589 -32.759562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57168159--0.57176222) × R
    8.0630000000026e-05 × 6371000     		dl = 513.693730000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57168159--0.57176222) × R
    8.0630000000026e-05 × 6371000     		dr = 513.693730000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98059722--0.98050134) × cos(-0.57168159) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.84099234539278 × 6371000     		do = 513.721418852109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98059722--0.98050134) × cos(-0.57176222) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.84094871803809 × 6371000     		du = 513.694769017928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57168159)-sin(-0.57176222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84099234539278-0.84094871803809)×R²
    abs(-0.98050134--0.98059722)×4.36273546906563e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.36273546906563e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.36273546906563e-05×40589641000000     		ar = 263888.627047934m²