Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2254 / 2458
↖ ↑ ↗
← S 33.870416°
E 18.105469°		 ← 8 114.51 m → S 33.870416°
E 18.193359°		 →
↑
8 111.05 m
↓
↑
8 111.05 m
↓
S 33.943360°
E 18.105469°		 ← 8 107.57 m →
65 789 056 m²		 S 33.943360°
E 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5504150390625 y=0.6002197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5504150390625 × 212)
    floor (0.5504150390625 × 4096)
    floor (2254.5)     		tx = 2254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6002197265625 × 212)
    floor (0.6002197265625 × 4096)
    floor (2458.5)     		ty = 2458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2254 / 2458 ti = "12/2254/2458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2254/2458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2254 ÷ 212
    2254 ÷ 4096     		x = 0.55029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2458 ÷ 212
    2458 ÷ 4096     		y = 0.60009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55029296875 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31600004} λ = 0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628932123015137))-π/2
    2×atan(0.533160847315171)-π/2
    2×0.489823028213599-π/2
    0.979646056427198-1.57079632675     		φ = -0.59115027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59115027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.870416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2254 KachelY 2458 0.31600004 -0.59115027 18.105469 -33.870416
    Oben rechts KachelX + 1 2255 KachelY 2458 0.31753402 -0.59115027 18.193359 -33.870416
    Unten links KachelX 2254 KachelY + 1 2459 0.31600004 -0.59242339 18.105469 -33.943360
    Unten rechts KachelX + 1 2255 KachelY + 1 2459 0.31753402 -0.59242339 18.193359 -33.943360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59115027--0.59242339) × R
    0.00127312000000002 × 6371000     		dl = 8111.0475200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59115027--0.59242339) × R
    0.00127312000000002 × 6371000     		dr = 8111.0475200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31600004-0.31753402) × cos(-0.59115027) × R
    0.00153397999999999 × 0.830300164129962 × 6371000     		do = 8114.51236141387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31600004-0.31753402) × cos(-0.59242339) × R
    0.00153397999999999 × 0.829589960699599 × 6371000     		du = 8107.57155281985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59115027)-sin(-0.59242339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830300164129962-0.829589960699599)×R²
    abs(0.31753402-0.31600004)×0.000710203430363321×R²
    0.00153397999999999×0.000710203430363321×6371000²
    0.00153397999999999×0.000710203430363321×40589641000000     		ar = 65789055.6369886m²