Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2254 / 2414
↖ ↑ ↗
← S 30.600094°
E 18.105469°		 ← 8 412.01 m → S 30.600094°
E 18.193359°		 →
↑
8 408.70 m
↓
↑
8 408.70 m
↓
S 30.675715°
E 18.105469°		 ← 8 405.44 m →
70 706 465 m²		 S 30.675715°
E 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5504150390625 y=0.5894775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5504150390625 × 212)
    floor (0.5504150390625 × 4096)
    floor (2254.5)     		tx = 2254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5894775390625 × 212)
    floor (0.5894775390625 × 4096)
    floor (2414.5)     		ty = 2414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2254 / 2414 ti = "12/2254/2414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2254/2414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2254 ÷ 212
    2254 ÷ 4096     		x = 0.55029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2414 ÷ 212
    2414 ÷ 4096     		y = 0.58935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55029296875 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.561436968350098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31600004} λ = 0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561436968350098))-π/2
    2×atan(0.570388843958924)-π/2
    2×0.518361968647957-π/2
    1.03672393729591-1.57079632675     		φ = -0.53407239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53407239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.600094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2254 KachelY 2414 0.31600004 -0.53407239 18.105469 -30.600094
    Oben rechts KachelX + 1 2255 KachelY 2414 0.31753402 -0.53407239 18.193359 -30.600094
    Unten links KachelX 2254 KachelY + 1 2415 0.31600004 -0.53539223 18.105469 -30.675715
    Unten rechts KachelX + 1 2255 KachelY + 1 2415 0.31753402 -0.53539223 18.193359 -30.675715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53407239--0.53539223) × R
    0.00131984000000007 × 6371000     		dl = 8408.70064000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53407239--0.53539223) × R
    0.00131984000000007 × 6371000     		dr = 8408.70064000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31600004-0.31753402) × cos(-0.53407239) × R
    0.00153397999999999 × 0.860741192740037 × 6371000     		do = 8412.01212550152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31600004-0.31753402) × cos(-0.53539223) × R
    0.00153397999999999 × 0.860068588155245 × 6371000     		du = 8405.4387699207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53407239)-sin(-0.53539223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860741192740037-0.860068588155245)×R²
    abs(0.31753402-0.31600004)×0.000672604584791681×R²
    0.00153397999999999×0.000672604584791681×6371000²
    0.00153397999999999×0.000672604584791681×40589641000000     		ar = 70706465.317846m²