Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2254 / 1231
↖ ↑ ↗
← N 82.073059°
W130.473633°		 ← 336.95 m → N 82.073059°
W130.451660°		 →
↑
337.03 m
↓
↑
337.03 m
↓
N 82.070028°
W130.473633°		 ← 337.08 m →
113 584 m²		 N 82.070028°
W130.451660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137603759765625 y=0.075164794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137603759765625 × 214)
    floor (0.137603759765625 × 16384)
    floor (2254.5)     		tx = 2254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.075164794921875 × 214)
    floor (0.075164794921875 × 16384)
    floor (1231.5)     		ty = 1231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2254 / 1231 ti = "14/2254/1231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2254/1231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2254 ÷ 214
    2254 ÷ 16384     		x = 0.1375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1231 ÷ 214
    1231 ÷ 16384     		y = 0.07513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27719448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07513427734375 × 2 - 1) × π
    0.8497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66951006604169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27719448} λ = -2.27719448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66951006604169))-π/2
    2×atan(14.4328962943064)-π/2
    2×1.5016207169785-π/2
    3.003241433957-1.57079632675     		φ = 1.43244511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27719448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.473633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43244511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.073059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2254 KachelY 1231 -2.27719448 1.43244511 -130.473633 82.073059
    Oben rechts KachelX + 1 2255 KachelY 1231 -2.27681098 1.43244511 -130.451660 82.073059
    Unten links KachelX 2254 KachelY + 1 1232 -2.27719448 1.43239221 -130.473633 82.070028
    Unten rechts KachelX + 1 2255 KachelY + 1 1232 -2.27681098 1.43239221 -130.451660 82.070028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43244511-1.43239221) × R
    5.29000000000224e-05 × 6371000     		dl = 337.025900000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43244511-1.43239221) × R
    5.29000000000224e-05 × 6371000     		dr = 337.025900000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27719448--2.27681098) × cos(1.43244511) × R
    0.00038349999999987 × 0.137910274207017 × 6371000     		do = 336.953207898995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27719448--2.27681098) × cos(1.43239221) × R
    0.00038349999999987 × 0.13796266854006 × 6371000     		du = 337.081221846441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43244511)-sin(1.43239221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137910274207017-0.13796266854006)×R²
    abs(-2.27681098--2.27719448)×5.2394333043132e-05×R²
    0.00038349999999987×5.2394333043132e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.2394333043132e-05×40589641000000     		ar = 113583.530185409m²