Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22539 / 38921
↖ ↑ ↗
← S 31.994101°
W 56.189575°		 ← 518.01 m → S 31.994101°
W 56.184082°		 →
↑
518.03 m
↓
↑
518.03 m
↓
S 31.998760°
W 56.189575°		 ← 517.98 m →
268 336 m²		 S 31.998760°
W 56.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343925476074219 y=0.593894958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343925476074219 × 216)
    floor (0.343925476074219 × 65536)
    floor (22539.5)     		tx = 22539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593894958496094 × 216)
    floor (0.593894958496094 × 65536)
    floor (38921.5)     		ty = 38921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22539 / 38921 ti = "16/22539/38921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22539/38921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22539 ÷ 216
    22539 ÷ 65536     		x = 0.343917846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38921 ÷ 216
    38921 ÷ 65536     		y = 0.593887329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343917846679688 × 2 - 1) × π
    -0.312164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98069309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593887329101562 × 2 - 1) × π
    -0.187774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.589911486724411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98069309} λ = -0.98069309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589911486724411))-π/2
    2×atan(0.554376352229758)-π/2
    2×0.506196963986798-π/2
    1.0123939279736-1.57079632675     		φ = -0.55840240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98069309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.189575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55840240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.994101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22539 KachelY 38921 -0.98069309 -0.55840240 -56.189575 -31.994101
    Oben rechts KachelX + 1 22540 KachelY 38921 -0.98059722 -0.55840240 -56.184082 -31.994101
    Unten links KachelX 22539 KachelY + 1 38922 -0.98069309 -0.55848371 -56.189575 -31.998760
    Unten rechts KachelX + 1 22540 KachelY + 1 38922 -0.98059722 -0.55848371 -56.184082 -31.998760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55840240--0.55848371) × R
    8.13100000000011e-05 × 6371000     		dl = 518.026010000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55840240--0.55848371) × R
    8.13100000000011e-05 × 6371000     		dr = 518.026010000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98069309--0.98059722) × cos(-0.55840240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848102652486928 × 6371000     		do = 518.010727843564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98069309--0.98059722) × cos(-0.55848371) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848059569047921 × 6371000     		du = 517.984413005929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55840240)-sin(-0.55848371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848102652486928-0.848059569047921)×R²
    abs(-0.98059722--0.98069309)×4.30834390070522e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30834390070522e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30834390070522e-05×40589641000000     		ar = 268336.214744512m²