Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22538 / 6175
↖ ↑ ↗
← N 73.925511°
E 67.609863°		 ← 338.26 m → N 73.925511°
E 67.620850°		 →
↑
338.30 m
↓
↑
338.30 m
↓
N 73.922469°
E 67.609863°		 ← 338.32 m →
114 443 m²		 N 73.922469°
E 67.620850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687820434570312 y=0.188461303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687820434570312 × 215)
    floor (0.687820434570312 × 32768)
    floor (22538.5)     		tx = 22538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188461303710938 × 215)
    floor (0.188461303710938 × 32768)
    floor (6175.5)     		ty = 6175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22538 / 6175 ti = "15/22538/6175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22538/6175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22538 ÷ 215
    22538 ÷ 32768     		x = 0.68780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6175 ÷ 215
    6175 ÷ 32768     		y = 0.188446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68780517578125 × 2 - 1) × π
    0.3756103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18001472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188446044921875 × 2 - 1) × π
    0.62310791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95755123288461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18001472} λ = 1.18001472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95755123288461))-π/2
    2×atan(7.08196373455114)-π/2
    2×1.43051994831307-π/2
    2.86103989662615-1.57079632675     		φ = 1.29024357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18001472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.609863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29024357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.925511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22538 KachelY 6175 1.18001472 1.29024357 67.609863 73.925511
    Oben rechts KachelX + 1 22539 KachelY 6175 1.18020647 1.29024357 67.620850 73.925511
    Unten links KachelX 22538 KachelY + 1 6176 1.18001472 1.29019047 67.609863 73.922469
    Unten rechts KachelX + 1 22539 KachelY + 1 6176 1.18020647 1.29019047 67.620850 73.922469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29024357-1.29019047) × R
    5.30999999999171e-05 × 6371000     		dl = 338.300099999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29024357-1.29019047) × R
    5.30999999999171e-05 × 6371000     		dr = 338.300099999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18001472-1.18020647) × cos(1.29024357) × R
    0.000191749999999935 × 0.276886836241999 × 6371000     		do = 338.255826961434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18001472-1.18020647) × cos(1.29019047) × R
    0.000191749999999935 × 0.276937859776176 × 6371000     		du = 338.318159313458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29024357)-sin(1.29019047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276886836241999-0.276937859776176)×R²
    abs(1.18020647-1.18001472)×5.10235341767973e-05×R²
    0.000191749999999935×5.10235341767973e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.10235341767973e-05×40589641000000     		ar = 114442.523633788m²