Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22538 / 38919
↖ ↑ ↗
← S 31.984783°
W 56.195069°		 ← 518.12 m → S 31.984783°
W 56.189575°		 →
↑
518.09 m
↓
↑
518.09 m
↓
S 31.989442°
W 56.195069°		 ← 518.09 m →
268 424 m²		 S 31.989442°
W 56.189575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343910217285156 y=0.593864440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343910217285156 × 216)
    floor (0.343910217285156 × 65536)
    floor (22538.5)     		tx = 22538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593864440917969 × 216)
    floor (0.593864440917969 × 65536)
    floor (38919.5)     		ty = 38919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22538 / 38919 ti = "16/22538/38919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22538/38919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22538 ÷ 216
    22538 ÷ 65536     		x = 0.343902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38919 ÷ 216
    38919 ÷ 65536     		y = 0.593856811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.31219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98078897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593856811523438 × 2 - 1) × π
    -0.187713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.589719739125931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98078897} λ = -0.98078897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589719739125931))-π/2
    2×atan(0.55448266275602)-π/2
    2×0.506278278940425-π/2
    1.01255655788085-1.57079632675     		φ = -0.55823977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98078897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.195069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55823977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.984783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22538 KachelY 38919 -0.98078897 -0.55823977 -56.195069 -31.984783
    Oben rechts KachelX + 1 22539 KachelY 38919 -0.98069309 -0.55823977 -56.189575 -31.984783
    Unten links KachelX 22538 KachelY + 1 38920 -0.98078897 -0.55832109 -56.195069 -31.989442
    Unten rechts KachelX + 1 22539 KachelY + 1 38920 -0.98069309 -0.55832109 -56.189575 -31.989442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55823977--0.55832109) × R
    8.13199999999403e-05 × 6371000     		dl = 518.08971999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55823977--0.55832109) × R
    8.13199999999403e-05 × 6371000     		dr = 518.08971999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98078897--0.98069309) × cos(-0.55823977) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.848188807840374 × 6371000     		do = 518.117388588388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98078897--0.98069309) × cos(-0.55832109) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.848145730318861 × 6371000     		du = 518.091074620617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55823977)-sin(-0.55832109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848188807840374-0.848145730318861)×R²
    abs(-0.98069309--0.98078897)×4.30775215128909e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.30775215128909e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.30775215128909e-05×40589641000000     		ar = 268424.476430567m²