Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22536 / 47144
↖ ↑ ↗
← S 61.710706°
W 56.206054°		 ← 289.47 m → S 61.710706°
W 56.200562°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
S 61.713309°
W 56.206054°		 ← 289.44 m →
83 797 m²		 S 61.713309°
W 56.200562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343879699707031 y=0.719367980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343879699707031 × 216)
    floor (0.343879699707031 × 65536)
    floor (22536.5)     		tx = 22536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719367980957031 × 216)
    floor (0.719367980957031 × 65536)
    floor (47144.5)     		ty = 47144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22536 / 47144 ti = "16/22536/47144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22536/47144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22536 ÷ 216
    22536 ÷ 65536     		x = 0.3438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47144 ÷ 216
    47144 ÷ 65536     		y = 0.7193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98098071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37828173787585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98098071} λ = -0.98098071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37828173787585))-π/2
    2×atan(0.2520112025549)-π/2
    2×0.246870662050934-π/2
    0.493741324101869-1.57079632675     		φ = -1.07705500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98098071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.206054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07705500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.710706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22536 KachelY 47144 -0.98098071 -1.07705500 -56.206054 -61.710706
    Oben rechts KachelX + 1 22537 KachelY 47144 -0.98088484 -1.07705500 -56.200562 -61.710706
    Unten links KachelX 22536 KachelY + 1 47145 -0.98098071 -1.07710044 -56.206054 -61.713309
    Unten rechts KachelX + 1 22537 KachelY + 1 47145 -0.98088484 -1.07710044 -56.200562 -61.713309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07705500--1.07710044) × R
    4.54399999998412e-05 × 6371000     		dl = 289.498239998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07705500--1.07710044) × R
    4.54399999998412e-05 × 6371000     		dr = 289.498239998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98098071--0.98088484) × cos(-1.07705500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.473923682240649 × 6371000     		do = 289.466789025948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98098071--0.98088484) × cos(-1.07710044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.473883668835879 × 6371000     		du = 289.442349327679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07705500)-sin(-1.07710044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473923682240649-0.473883668835879)×R²
    abs(-0.98088484--0.98098071)×4.00134047700007e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00134047700007e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00134047700007e-05×40589641000000     		ar = 83796.5883507716m²