Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22535 / 6162
↖ ↑ ↗
← N 73.965009°
E 67.576904°		 ← 337.45 m → N 73.965009°
E 67.587891°		 →
↑
337.47 m
↓
↑
337.47 m
↓
N 73.961974°
E 67.576904°		 ← 337.51 m →
113 889 m²		 N 73.961974°
E 67.587891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687728881835938 y=0.188064575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687728881835938 × 215)
    floor (0.687728881835938 × 32768)
    floor (22535.5)     		tx = 22535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188064575195312 × 215)
    floor (0.188064575195312 × 32768)
    floor (6162.5)     		ty = 6162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22535 / 6162 ti = "15/22535/6162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22535/6162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22535 ÷ 215
    22535 ÷ 32768     		x = 0.687713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6162 ÷ 215
    6162 ÷ 32768     		y = 0.18804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687713623046875 × 2 - 1) × π
    0.37542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17943948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18804931640625 × 2 - 1) × π
    0.6239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96004395166486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17943948} λ = 1.17943948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96004395166486))-π/2
    2×atan(7.09963909925766)-π/2
    2×1.43086463582141-π/2
    2.86172927164283-1.57079632675     		φ = 1.29093294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17943948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.576904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29093294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.965009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22535 KachelY 6162 1.17943948 1.29093294 67.576904 73.965009
    Oben rechts KachelX + 1 22536 KachelY 6162 1.17963123 1.29093294 67.587891 73.965009
    Unten links KachelX 22535 KachelY + 1 6163 1.17943948 1.29087997 67.576904 73.961974
    Unten rechts KachelX + 1 22536 KachelY + 1 6163 1.17963123 1.29087997 67.587891 73.961974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29093294-1.29087997) × R
    5.2970000000041e-05 × 6371000     		dl = 337.471870000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29093294-1.29087997) × R
    5.2970000000041e-05 × 6371000     		dr = 337.471870000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17943948-1.17963123) × cos(1.29093294) × R
    0.000191749999999935 × 0.276224353121977 × 6371000     		do = 337.446511579552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17943948-1.17963123) × cos(1.29087997) × R
    0.000191749999999935 × 0.276275261840347 × 6371000     		du = 337.508703668081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29093294)-sin(1.29087997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276224353121977-0.276275261840347)×R²
    abs(1.17963123-1.17943948)×5.0908718370879e-05×R²
    0.000191749999999935×5.0908718370879e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.0908718370879e-05×40589641000000     		ar = 113889.199354955m²