Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22534 / 38922
↖ ↑ ↗
← S 31.998760°
W 56.217041°		 ← 517.98 m → S 31.998760°
W 56.211548°		 →
↑
517.96 m
↓
↑
517.96 m
↓
S 32.003418°
W 56.217041°		 ← 517.96 m →
268 290 m²		 S 32.003418°
W 56.211548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343849182128906 y=0.593910217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343849182128906 × 216)
    floor (0.343849182128906 × 65536)
    floor (22534.5)     		tx = 22534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593910217285156 × 216)
    floor (0.593910217285156 × 65536)
    floor (38922.5)     		ty = 38922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22534 / 38922 ti = "16/22534/38922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22534/38922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22534 ÷ 216
    22534 ÷ 65536     		x = 0.343841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38922 ÷ 216
    38922 ÷ 65536     		y = 0.593902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.31231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98117246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.18780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.590007360523651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98117246} λ = -0.98117246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590007360523651))-π/2
    2×atan(0.554323204610433)-π/2
    2×0.506156309607662-π/2
    1.01231261921532-1.57079632675     		φ = -0.55848371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98117246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55848371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.998760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22534 KachelY 38922 -0.98117246 -0.55848371 -56.217041 -31.998760
    Oben rechts KachelX + 1 22535 KachelY 38922 -0.98107659 -0.55848371 -56.211548 -31.998760
    Unten links KachelX 22534 KachelY + 1 38923 -0.98117246 -0.55856501 -56.217041 -32.003418
    Unten rechts KachelX + 1 22535 KachelY + 1 38923 -0.98107659 -0.55856501 -56.211548 -32.003418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55848371--0.55856501) × R
    8.13000000000619e-05 × 6371000     		dl = 517.962300000394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55848371--0.55856501) × R
    8.13000000000619e-05 × 6371000     		dr = 517.962300000394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98117246--0.98107659) × cos(-0.55848371) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848059569047921 × 6371000     		do = 517.984413005929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98117246--0.98107659) × cos(-0.55856501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848016485301823 × 6371000     		du = 517.958097980727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55848371)-sin(-0.55856501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848059569047921-0.848016485301823)×R²
    abs(-0.98107659--0.98117246)×4.30837460985156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30837460985156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30837460985156e-05×40589641000000     		ar = 268289.582977313m²