Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22533 / 6158
↖ ↑ ↗
← N 73.977144°
E 67.554931°		 ← 337.20 m → N 73.977144°
E 67.565918°		 →
↑
337.22 m
↓
↑
337.22 m
↓
N 73.974111°
E 67.554931°		 ← 337.26 m →
113 719 m²		 N 73.974111°
E 67.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687667846679688 y=0.187942504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687667846679688 × 215)
    floor (0.687667846679688 × 32768)
    floor (22533.5)     		tx = 22533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187942504882812 × 215)
    floor (0.187942504882812 × 32768)
    floor (6158.5)     		ty = 6158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22533 / 6158 ti = "15/22533/6158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22533/6158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22533 ÷ 215
    22533 ÷ 32768     		x = 0.687652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6158 ÷ 215
    6158 ÷ 32768     		y = 0.18792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687652587890625 × 2 - 1) × π
    0.37530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17905598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18792724609375 × 2 - 1) × π
    0.6241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96081094205878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17905598} λ = 1.17905598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96081094205878))-π/2
    2×atan(7.10508654304858)-π/2
    2×1.43097052749776-π/2
    2.86194105499552-1.57079632675     		φ = 1.29114473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17905598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.554931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29114473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.977144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22533 KachelY 6158 1.17905598 1.29114473 67.554931 73.977144
    Oben rechts KachelX + 1 22534 KachelY 6158 1.17924773 1.29114473 67.565918 73.977144
    Unten links KachelX 22533 KachelY + 1 6159 1.17905598 1.29109180 67.554931 73.974111
    Unten rechts KachelX + 1 22534 KachelY + 1 6159 1.17924773 1.29109180 67.565918 73.974111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29114473-1.29109180) × R
    5.29300000000621e-05 × 6371000     		dl = 337.217030000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29114473-1.29109180) × R
    5.29300000000621e-05 × 6371000     		dr = 337.217030000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17905598-1.17924773) × cos(1.29114473) × R
    0.000191749999999935 × 0.276020797003212 × 6371000     		do = 337.197839435291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17905598-1.17924773) × cos(1.29109180) × R
    0.000191749999999935 × 0.276071670374072 × 6371000     		du = 337.259988341914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29114473)-sin(1.29109180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276020797003212-0.276071670374072)×R²
    abs(1.17924773-1.17905598)×5.08733708602382e-05×R²
    0.000191749999999935×5.08733708602382e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.08733708602382e-05×40589641000000     		ar = 113719.332798723m²