Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22531 / 6166
↖ ↑ ↗
← N 73.952866°
E 67.532959°		 ← 337.70 m → N 73.952866°
E 67.543946°		 →
↑
337.73 m
↓
↑
337.73 m
↓
N 73.949829°
E 67.532959°		 ← 337.76 m →
114 059 m²		 N 73.949829°
E 67.543946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687606811523438 y=0.188186645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687606811523438 × 215)
    floor (0.687606811523438 × 32768)
    floor (22531.5)     		tx = 22531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188186645507812 × 215)
    floor (0.188186645507812 × 32768)
    floor (6166.5)     		ty = 6166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22531 / 6166 ti = "15/22531/6166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22531/6166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22531 ÷ 215
    22531 ÷ 32768     		x = 0.687591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6166 ÷ 215
    6166 ÷ 32768     		y = 0.18817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17867249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18817138671875 × 2 - 1) × π
    0.6236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95927696127094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17867249} λ = 1.17867249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95927696127094))-π/2
    2×atan(7.09419583200192)-π/2
    2×1.43075866605832-π/2
    2.86151733211664-1.57079632675     		φ = 1.29072101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17867249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29072101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.952866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22531 KachelY 6166 1.17867249 1.29072101 67.532959 73.952866
    Oben rechts KachelX + 1 22532 KachelY 6166 1.17886424 1.29072101 67.543946 73.952866
    Unten links KachelX 22531 KachelY + 1 6167 1.17867249 1.29066800 67.532959 73.949829
    Unten rechts KachelX + 1 22532 KachelY + 1 6167 1.17886424 1.29066800 67.543946 73.949829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29072101-1.29066800) × R
    5.301000000002e-05 × 6371000     		dl = 337.726710000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29072101-1.29066800) × R
    5.301000000002e-05 × 6371000     		dr = 337.726710000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17867249-1.17886424) × cos(1.29072101) × R
    0.000191749999999935 × 0.276428031395547 × 6371000     		do = 337.695332952918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17867249-1.17886424) × cos(1.29066800) × R
    0.000191749999999935 × 0.276478975452412 × 6371000     		du = 337.757568212338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29072101)-sin(1.29066800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276428031395547-0.276478975452412)×R²
    abs(1.17886424-1.17867249)×5.09440568648989e-05×R²
    0.000191749999999935×5.09440568648989e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.09440568648989e-05×40589641000000     		ar = 114059.243062482m²