Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22531 / 6157
↖ ↑ ↗
← N 73.980176°
E 67.532959°		 ← 337.14 m → N 73.980176°
E 67.543946°		 →
↑
337.15 m
↓
↑
337.15 m
↓
N 73.977144°
E 67.532959°		 ← 337.20 m →
113 677 m²		 N 73.977144°
E 67.543946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687606811523438 y=0.187911987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687606811523438 × 215)
    floor (0.687606811523438 × 32768)
    floor (22531.5)     		tx = 22531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187911987304688 × 215)
    floor (0.187911987304688 × 32768)
    floor (6157.5)     		ty = 6157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22531 / 6157 ti = "15/22531/6157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22531/6157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22531 ÷ 215
    22531 ÷ 32768     		x = 0.687591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6157 ÷ 215
    6157 ÷ 32768     		y = 0.187896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17867249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187896728515625 × 2 - 1) × π
    0.62420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96100268965726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17867249} λ = 1.17867249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96100268965726))-π/2
    2×atan(7.10644905695541)-π/2
    2×1.43099698822198-π/2
    2.86199397644396-1.57079632675     		φ = 1.29119765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17867249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29119765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.980176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22531 KachelY 6157 1.17867249 1.29119765 67.532959 73.980176
    Oben rechts KachelX + 1 22532 KachelY 6157 1.17886424 1.29119765 67.543946 73.980176
    Unten links KachelX 22531 KachelY + 1 6158 1.17867249 1.29114473 67.532959 73.977144
    Unten rechts KachelX + 1 22532 KachelY + 1 6158 1.17886424 1.29114473 67.543946 73.977144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29119765-1.29114473) × R
    5.29199999999008e-05 × 6371000     		dl = 337.153319999368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29119765-1.29114473) × R
    5.29199999999008e-05 × 6371000     		dr = 337.153319999368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17867249-1.17886424) × cos(1.29119765) × R
    0.000191749999999935 × 0.275969932470719 × 6371000     		do = 337.135701325965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17867249-1.17886424) × cos(1.29114473) × R
    0.000191749999999935 × 0.276020797003212 × 6371000     		du = 337.197839435291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29119765)-sin(1.29114473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275969932470719-0.276020797003212)×R²
    abs(1.17886424-1.17867249)×5.0864532493089e-05×R²
    0.000191749999999935×5.0864532493089e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.0864532493089e-05×40589641000000     		ar = 113676.896053633m²