Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22530 / 6164
↖ ↑ ↗
← N 73.958939°
E 67.521973°		 ← 337.57 m → N 73.958939°
E 67.532959°		 →
↑
337.60 m
↓
↑
337.60 m
↓
N 73.955903°
E 67.521973°		 ← 337.63 m →
113 974 m²		 N 73.955903°
E 67.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687576293945312 y=0.188125610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687576293945312 × 215)
    floor (0.687576293945312 × 32768)
    floor (22530.5)     		tx = 22530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188125610351562 × 215)
    floor (0.188125610351562 × 32768)
    floor (6164.5)     		ty = 6164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22530 / 6164 ti = "15/22530/6164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22530/6164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22530 ÷ 215
    22530 ÷ 32768     		x = 0.68756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6164 ÷ 215
    6164 ÷ 32768     		y = 0.1881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    0.3751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17848074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1881103515625 × 2 - 1) × π
    0.623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9596604564679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17848074} λ = 1.17848074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9596604564679))-π/2
    2×atan(7.09691694376308)-π/2
    2×1.43081166070401-π/2
    2.86162332140802-1.57079632675     		φ = 1.29082699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17848074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29082699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.958939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22530 KachelY 6164 1.17848074 1.29082699 67.521973 73.958939
    Oben rechts KachelX + 1 22531 KachelY 6164 1.17867249 1.29082699 67.532959 73.958939
    Unten links KachelX 22530 KachelY + 1 6165 1.17848074 1.29077400 67.521973 73.955903
    Unten rechts KachelX + 1 22531 KachelY + 1 6165 1.17867249 1.29077400 67.532959 73.955903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29082699-1.29077400) × R
    5.29899999999195e-05 × 6371000     		dl = 337.599289999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29082699-1.29077400) × R
    5.29899999999195e-05 × 6371000     		dr = 337.599289999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17848074-1.17867249) × cos(1.29082699) × R
    0.000191750000000157 × 0.276326179394178 × 6371000     		do = 337.570906550746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17848074-1.17867249) × cos(1.29077400) × R
    0.000191750000000157 × 0.276377105782888 × 6371000     		du = 337.633120226054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29082699)-sin(1.29077400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276326179394178-0.276377105782888)×R²
    abs(1.17867249-1.17848074)×5.09263887091826e-05×R²
    0.000191750000000157×5.09263887091826e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.09263887091826e-05×40589641000000     		ar = 113974.200048493m²