Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2253 / 6558
↖ ↑ ↗
← S 72.790088°
W 80.991211°		 ← 1 445.78 m → S 72.790088°
W 80.947266°		 →
↑
1 445.26 m
↓
↑
1 445.26 m
↓
S 72.803086°
W 80.991211°		 ← 1 444.72 m →
2 088 769 m²		 S 72.803086°
W 80.947266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27508544921875 y=0.80059814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27508544921875 × 213)
    floor (0.27508544921875 × 8192)
    floor (2253.5)     		tx = 2253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80059814453125 × 213)
    floor (0.80059814453125 × 8192)
    floor (6558.5)     		ty = 6558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2253 / 6558 ti = "13/2253/6558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2253/6558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2253 ÷ 213
    2253 ÷ 8192     		x = 0.2750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6558 ÷ 213
    6558 ÷ 8192     		y = 0.800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41356330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.60107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88833034983325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41356330} λ = -1.41356330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88833034983325))-π/2
    2×atan(0.151324256598263)-π/2
    2×0.150184811813192-π/2
    0.300369623626384-1.57079632675     		φ = -1.27042670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41356330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.991211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27042670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.790088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2253 KachelY 6558 -1.41356330 -1.27042670 -80.991211 -72.790088
    Oben rechts KachelX + 1 2254 KachelY 6558 -1.41279631 -1.27042670 -80.947266 -72.790088
    Unten links KachelX 2253 KachelY + 1 6559 -1.41356330 -1.27065355 -80.991211 -72.803086
    Unten rechts KachelX + 1 2254 KachelY + 1 6559 -1.41279631 -1.27065355 -80.947266 -72.803086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27042670--1.27065355) × R
    0.000226850000000001 × 6371000     		dl = 1445.26135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27042670--1.27065355) × R
    0.000226850000000001 × 6371000     		dr = 1445.26135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41356330--1.41279631) × cos(-1.27042670) × R
    0.000766990000000023 × 0.295873304430251 × 6371000     		do = 1445.78291678859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41356330--1.41279631) × cos(-1.27065355) × R
    0.000766990000000023 × 0.29565660353072 × 6371000     		du = 1444.7240092971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27042670)-sin(-1.27065355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295873304430251-0.29565660353072)×R²
    abs(-1.41279631--1.41356330)×0.000216700899530686×R²
    0.000766990000000023×0.000216700899530686×6371000²
    0.000766990000000023×0.000216700899530686×40589641000000     		ar = 2088768.98004732m²