Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2253 / 1182
↖ ↑ ↗
← N 82.220168°
W130.495605°		 ← 330.73 m → N 82.220168°
W130.473633°		 →
↑
330.85 m
↓
↑
330.85 m
↓
N 82.217193°
W130.495605°		 ← 330.86 m →
109 442 m²		 N 82.217193°
W130.473633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137542724609375 y=0.072174072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137542724609375 × 214)
    floor (0.137542724609375 × 16384)
    floor (2253.5)     		tx = 2253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.072174072265625 × 214)
    floor (0.072174072265625 × 16384)
    floor (1182.5)     		ty = 1182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2253 / 1182 ti = "14/2253/1182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2253/1182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2253 ÷ 214
    2253 ÷ 16384     		x = 0.13751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1182 ÷ 214
    1182 ÷ 16384     		y = 0.0721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.7249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27757797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0721435546875 × 2 - 1) × π
    0.855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.68830133069275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27757797} λ = -2.27757797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68830133069275))-π/2
    2×atan(14.7066729166419)-π/2
    2×1.50290448617815-π/2
    3.00580897235629-1.57079632675     		φ = 1.43501265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27757797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.495605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43501265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.220168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2253 KachelY 1182 -2.27757797 1.43501265 -130.495605 82.220168
    Oben rechts KachelX + 1 2254 KachelY 1182 -2.27719448 1.43501265 -130.473633 82.220168
    Unten links KachelX 2253 KachelY + 1 1183 -2.27757797 1.43496072 -130.495605 82.217193
    Unten rechts KachelX + 1 2254 KachelY + 1 1183 -2.27719448 1.43496072 -130.473633 82.217193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43501265-1.43496072) × R
    5.19299999999223e-05 × 6371000     		dl = 330.846029999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43501265-1.43496072) × R
    5.19299999999223e-05 × 6371000     		dr = 330.846029999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27757797--2.27719448) × cos(1.43501265) × R
    0.000383489999999931 × 0.135366815977888 × 6371000     		do = 330.730206872324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27757797--2.27719448) × cos(1.43496072) × R
    0.000383489999999931 × 0.135418267808337 × 6371000     		du = 330.855914745451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43501265)-sin(1.43496072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135366815977888-0.135418267808337)×R²
    abs(-2.27719448--2.27757797)×5.14518304494671e-05×R²
    0.000383489999999931×5.14518304494671e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.14518304494671e-05×40589641000000     		ar = 109441.570945123m²