Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22529 / 6182
↖ ↑ ↗
← N 73.904203°
E 67.510986°		 ← 338.69 m → N 73.904203°
E 67.521973°		 →
↑
338.68 m
↓
↑
338.68 m
↓
N 73.901158°
E 67.510986°		 ← 338.75 m →
114 720 m²		 N 73.901158°
E 67.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687545776367188 y=0.188674926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687545776367188 × 215)
    floor (0.687545776367188 × 32768)
    floor (22529.5)     		tx = 22529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188674926757812 × 215)
    floor (0.188674926757812 × 32768)
    floor (6182.5)     		ty = 6182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22529 / 6182 ti = "15/22529/6182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22529/6182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22529 ÷ 215
    22529 ÷ 32768     		x = 0.687530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6182 ÷ 215
    6182 ÷ 32768     		y = 0.18865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17828899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18865966796875 × 2 - 1) × π
    0.6226806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95620899969525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17828899} λ = 1.17828899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95620899969525))-π/2
    2×atan(7.07246446432481)-π/2
    2×1.43033400508174-π/2
    2.86066801016348-1.57079632675     		φ = 1.28987168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17828899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28987168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.904203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22529 KachelY 6182 1.17828899 1.28987168 67.510986 73.904203
    Oben rechts KachelX + 1 22530 KachelY 6182 1.17848074 1.28987168 67.521973 73.904203
    Unten links KachelX 22529 KachelY + 1 6183 1.17828899 1.28981852 67.510986 73.901158
    Unten rechts KachelX + 1 22530 KachelY + 1 6183 1.17848074 1.28981852 67.521973 73.901158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28987168-1.28981852) × R
    5.31599999999965e-05 × 6371000     		dl = 338.682359999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28987168-1.28981852) × R
    5.31599999999965e-05 × 6371000     		dr = 338.682359999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17828899-1.17848074) × cos(1.28987168) × R
    0.000191749999999935 × 0.277244167130119 × 6371000     		do = 338.692356399598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17828899-1.17848074) × cos(1.28981852) × R
    0.000191749999999935 × 0.277295242839566 × 6371000     		du = 338.75475249098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28987168)-sin(1.28981852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277244167130119-0.277295242839566)×R²
    abs(1.17848074-1.17828899)×5.10757094470127e-05×R²
    0.000191749999999935×5.10757094470127e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.10757094470127e-05×40589641000000     		ar = 114719.692834591m²