Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22523 / 39088
↖ ↑ ↗
← S 32.768800°
W 56.277466°		 ← 513.59 m → S 32.768800°
W 56.271973°		 →
↑
513.57 m
↓
↑
513.57 m
↓
S 32.773419°
W 56.277466°		 ← 513.56 m →
263 755 m²		 S 32.773419°
W 56.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343681335449219 y=0.596443176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343681335449219 × 216)
    floor (0.343681335449219 × 65536)
    floor (22523.5)     		tx = 22523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596443176269531 × 216)
    floor (0.596443176269531 × 65536)
    floor (39088.5)     		ty = 39088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22523 / 39088 ti = "16/22523/39088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22523/39088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22523 ÷ 216
    22523 ÷ 65536     		x = 0.343673706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39088 ÷ 216
    39088 ÷ 65536     		y = 0.596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343673706054688 × 2 - 1) × π
    -0.312652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98222707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.19287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.60592241119751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98222707} λ = -0.98222707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60592241119751))-π/2
    2×atan(0.545570953714133)-π/2
    2×0.49943643320958-π/2
    0.998872866419159-1.57079632675     		φ = -0.57192346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98222707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.277466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57192346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.768800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22523 KachelY 39088 -0.98222707 -0.57192346 -56.277466 -32.768800
    Oben rechts KachelX + 1 22524 KachelY 39088 -0.98213120 -0.57192346 -56.271973 -32.768800
    Unten links KachelX 22523 KachelY + 1 39089 -0.98222707 -0.57200407 -56.277466 -32.773419
    Unten rechts KachelX + 1 22524 KachelY + 1 39089 -0.98213120 -0.57200407 -56.271973 -32.773419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57192346--0.57200407) × R
    8.06099999999255e-05 × 6371000     		dl = 513.566309999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57192346--0.57200407) × R
    8.06099999999255e-05 × 6371000     		dr = 513.566309999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98222707--0.98213120) × cos(-0.57192346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.840861457752481 × 6371000     		do = 513.587894659576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98222707--0.98213120) × cos(-0.57200407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.840817824824842 × 6371000     		du = 513.561244201005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57192346)-sin(-0.57200407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840861457752481-0.840817824824842)×R²
    abs(-0.98213120--0.98222707)×4.36329276390923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36329276390923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36329276390923e-05×40589641000000     		ar = 263754.596674341m²