Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22522 / 39090
↖ ↑ ↗
← S 32.778038°
W 56.282959°		 ← 513.59 m → S 32.778038°
W 56.277466°		 →
↑
513.50 m
↓
↑
513.50 m
↓
S 32.782656°
W 56.282959°		 ← 513.56 m →
263 722 m²		 S 32.782656°
W 56.277466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343666076660156 y=0.596473693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343666076660156 × 216)
    floor (0.343666076660156 × 65536)
    floor (22522.5)     		tx = 22522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596473693847656 × 216)
    floor (0.596473693847656 × 65536)
    floor (39090.5)     		ty = 39090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22522 / 39090 ti = "16/22522/39090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22522/39090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22522 ÷ 216
    22522 ÷ 65536     		x = 0.343658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39090 ÷ 216
    39090 ÷ 65536     		y = 0.596466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.31268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98232295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.19293212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.60611415879599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98232295} λ = -0.98232295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60611415879599))-π/2
    2×atan(0.545466351822859)-π/2
    2×0.499355820810549-π/2
    0.998711641621097-1.57079632675     		φ = -0.57208469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98232295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57208469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.778038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22522 KachelY 39090 -0.98232295 -0.57208469 -56.282959 -32.778038
    Oben rechts KachelX + 1 22523 KachelY 39090 -0.98222707 -0.57208469 -56.277466 -32.778038
    Unten links KachelX 22522 KachelY + 1 39091 -0.98232295 -0.57216529 -56.282959 -32.782656
    Unten rechts KachelX + 1 22523 KachelY + 1 39091 -0.98222707 -0.57216529 -56.277466 -32.782656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57208469--0.57216529) × R
    8.06000000000973e-05 × 6371000     		dl = 513.50260000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57208469--0.57216529) × R
    8.06000000000973e-05 × 6371000     		dr = 513.50260000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98232295--0.98222707) × cos(-0.57208469) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.840774181019732 × 6371000     		do = 513.588152821949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98232295--0.98222707) × cos(-0.57216529) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.840730542579015 × 6371000     		du = 513.561496215852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57208469)-sin(-0.57216529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840774181019732-0.840730542579015)×R²
    abs(-0.98222707--0.98232295)×4.36384407175305e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.36384407175305e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.36384407175305e-05×40589641000000     		ar = 263722.007828163m²