Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22521 / 6185
↖ ↑ ↗
← N 73.895064°
E 67.423096°		 ← 338.88 m → N 73.895064°
E 67.434082°		 →
↑
338.94 m
↓
↑
338.94 m
↓
N 73.892015°
E 67.423096°		 ← 338.94 m →
114 869 m²		 N 73.892015°
E 67.434082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687301635742188 y=0.188766479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687301635742188 × 215)
    floor (0.687301635742188 × 32768)
    floor (22521.5)     		tx = 22521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188766479492188 × 215)
    floor (0.188766479492188 × 32768)
    floor (6185.5)     		ty = 6185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22521 / 6185 ti = "15/22521/6185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22521/6185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22521 ÷ 215
    22521 ÷ 32768     		x = 0.687286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6185 ÷ 215
    6185 ÷ 32768     		y = 0.188751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687286376953125 × 2 - 1) × π
    0.37457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17675501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188751220703125 × 2 - 1) × π
    0.62249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95563375689981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17675501} λ = 1.17675501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95563375689981))-π/2
    2×atan(7.06839725002571)-π/2
    2×1.43025424168784-π/2
    2.86050848337569-1.57079632675     		φ = 1.28971216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17675501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28971216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.895064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22521 KachelY 6185 1.17675501 1.28971216 67.423096 73.895064
    Oben rechts KachelX + 1 22522 KachelY 6185 1.17694676 1.28971216 67.434082 73.895064
    Unten links KachelX 22521 KachelY + 1 6186 1.17675501 1.28965896 67.423096 73.892015
    Unten rechts KachelX + 1 22522 KachelY + 1 6186 1.17694676 1.28965896 67.434082 73.892015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28971216-1.28965896) × R
    5.32000000001975e-05 × 6371000     		dl = 338.937200001258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28971216-1.28965896) × R
    5.32000000001975e-05 × 6371000     		dr = 338.937200001258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17675501-1.17694676) × cos(1.28971216) × R
    0.000191750000000157 × 0.277397430337629 × 6371000     		do = 338.879588749866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17675501-1.17694676) × cos(1.28965896) × R
    0.000191750000000157 × 0.277448542124776 × 6371000     		du = 338.942028915183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28971216)-sin(1.28965896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277397430337629-0.277448542124776)×R²
    abs(1.17694676-1.17675501)×5.11117871473399e-05×R²
    0.000191750000000157×5.11117871473399e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.11117871473399e-05×40589641000000     		ar = 114869.480623133m²