Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22521 / 39089
↖ ↑ ↗
← S 32.773419°
W 56.288452°		 ← 513.56 m → S 32.773419°
W 56.282959°		 →
↑
513.63 m
↓
↑
513.63 m
↓
S 32.778038°
W 56.288452°		 ← 513.53 m →
263 774 m²		 S 32.778038°
W 56.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343650817871094 y=0.596458435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343650817871094 × 216)
    floor (0.343650817871094 × 65536)
    floor (22521.5)     		tx = 22521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596458435058594 × 216)
    floor (0.596458435058594 × 65536)
    floor (39089.5)     		ty = 39089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22521 / 39089 ti = "16/22521/39089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22521/39089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22521 ÷ 216
    22521 ÷ 65536     		x = 0.343643188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39089 ÷ 216
    39089 ÷ 65536     		y = 0.596450805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343643188476562 × 2 - 1) × π
    -0.312713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98241882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596450805664062 × 2 - 1) × π
    -0.192901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.60601828499675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98241882} λ = -0.98241882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60601828499675))-π/2
    2×atan(0.545518650261351)-π/2
    2×0.499396125964154-π/2
    0.998792251928308-1.57079632675     		φ = -0.57200407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98241882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.288452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57200407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.773419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22521 KachelY 39089 -0.98241882 -0.57200407 -56.288452 -32.773419
    Oben rechts KachelX + 1 22522 KachelY 39089 -0.98232295 -0.57200407 -56.282959 -32.773419
    Unten links KachelX 22521 KachelY + 1 39090 -0.98241882 -0.57208469 -56.288452 -32.778038
    Unten rechts KachelX + 1 22522 KachelY + 1 39090 -0.98232295 -0.57208469 -56.282959 -32.778038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57200407--0.57208469) × R
    8.06199999999757e-05 × 6371000     		dl = 513.630019999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57200407--0.57208469) × R
    8.06199999999757e-05 × 6371000     		dr = 513.630019999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98241882--0.98232295) × cos(-0.57200407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.840817824824842 × 6371000     		do = 513.561244201005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98241882--0.98232295) × cos(-0.57208469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.840774181019732 × 6371000     		du = 513.534587098607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57200407)-sin(-0.57208469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840817824824842-0.840774181019732)×R²
    abs(-0.98232295--0.98241882)×4.36438051097943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36438051097943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36438051097943e-05×40589641000000     		ar = 263773.626329155m²