Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2252 / 6548
↖ ↑ ↗
← S 72.659588°
W 81.035156°		 ← 1 456.41 m → S 72.659588°
W 80.991211°		 →
↑
1 455.90 m
↓
↑
1 455.90 m
↓
S 72.672682°
W 81.035156°		 ← 1 455.34 m →
2 119 614 m²		 S 72.672682°
W 80.991211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27496337890625 y=0.79937744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27496337890625 × 213)
    floor (0.27496337890625 × 8192)
    floor (2252.5)     		tx = 2252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79937744140625 × 213)
    floor (0.79937744140625 × 8192)
    floor (6548.5)     		ty = 6548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2252 / 6548 ti = "13/2252/6548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2252/6548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2252 ÷ 213
    2252 ÷ 8192     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6548 ÷ 213
    6548 ÷ 8192     		y = 0.79931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79931640625 × 2 - 1) × π
    -0.5986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88066044589404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88066044589404))-π/2
    2×atan(0.152489361519786)-π/2
    2×0.151323637443247-π/2
    0.302647274886493-1.57079632675     		φ = -1.26814905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26814905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.659588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2252 KachelY 6548 -1.41433029 -1.26814905 -81.035156 -72.659588
    Oben rechts KachelX + 1 2253 KachelY 6548 -1.41356330 -1.26814905 -80.991211 -72.659588
    Unten links KachelX 2252 KachelY + 1 6549 -1.41433029 -1.26837757 -81.035156 -72.672682
    Unten rechts KachelX + 1 2253 KachelY + 1 6549 -1.41356330 -1.26837757 -80.991211 -72.672682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26814905--1.26837757) × R
    0.000228519999999843 × 6371000     		dl = 1455.900919999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26814905--1.26837757) × R
    0.000228519999999843 × 6371000     		dr = 1455.900919999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41356330) × cos(-1.26814905) × R
    0.000766990000000023 × 0.298048208313173 × 6371000     		do = 1456.41057001889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41356330) × cos(-1.26837757) × R
    0.000766990000000023 × 0.297830066579732 × 6371000     		du = 1455.34462190216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26814905)-sin(-1.26837757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298048208313173-0.297830066579732)×R²
    abs(-1.41356330--1.41433029)×0.000218141733441313×R²
    0.000766990000000023×0.000218141733441313×6371000²
    0.000766990000000023×0.000218141733441313×40589641000000     		ar = 2119613.54058941m²