Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22516 / 38953
↖ ↑ ↗
← S 32.143060°
W 56.315918°		 ← 517.17 m → S 32.143060°
W 56.310425°		 →
↑
517.20 m
↓
↑
517.20 m
↓
S 32.147711°
W 56.315918°		 ← 517.14 m →
267 471 m²		 S 32.147711°
W 56.310425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343574523925781 y=0.594383239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343574523925781 × 216)
    floor (0.343574523925781 × 65536)
    floor (22516.5)     		tx = 22516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594383239746094 × 216)
    floor (0.594383239746094 × 65536)
    floor (38953.5)     		ty = 38953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22516 / 38953 ti = "16/22516/38953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22516/38953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22516 ÷ 216
    22516 ÷ 65536     		x = 0.34356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38953 ÷ 216
    38953 ÷ 65536     		y = 0.594375610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98289819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594375610351562 × 2 - 1) × π
    -0.188751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.592979448300095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98289819} λ = -0.98289819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592979448300095))-π/2
    2×atan(0.552678153219314)-π/2
    2×0.50489704907168-π/2
    1.00979409814336-1.57079632675     		φ = -0.56100223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98289819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56100223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.143060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22516 KachelY 38953 -0.98289819 -0.56100223 -56.315918 -32.143060
    Oben rechts KachelX + 1 22517 KachelY 38953 -0.98280232 -0.56100223 -56.310425 -32.143060
    Unten links KachelX 22516 KachelY + 1 38954 -0.98289819 -0.56108341 -56.315918 -32.147711
    Unten rechts KachelX + 1 22517 KachelY + 1 38954 -0.98280232 -0.56108341 -56.310425 -32.147711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56100223--0.56108341) × R
    8.1179999999903e-05 × 6371000     		dl = 517.197779999382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56100223--0.56108341) × R
    8.1179999999903e-05 × 6371000     		dr = 517.197779999382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98289819--0.98280232) × cos(-0.56100223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846722314840393 × 6371000     		do = 517.16763449059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98289819--0.98280232) × cos(-0.56108341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846679121442981 × 6371000     		du = 517.141252491706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56100223)-sin(-0.56108341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846722314840393-0.846679121442981)×R²
    abs(-0.98280232--0.98289819)×4.31933974123222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31933974123222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31933974123222e-05×40589641000000     		ar = 267471.130237157m²