Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22514 / 39123
↖ ↑ ↗
← S 32.930318°
W 56.326904°		 ← 512.71 m → S 32.930318°
W 56.321411°		 →
↑
512.61 m
↓
↑
512.61 m
↓
S 32.934928°
W 56.326904°		 ← 512.68 m →
262 812 m²		 S 32.934928°
W 56.321411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343544006347656 y=0.596977233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343544006347656 × 216)
    floor (0.343544006347656 × 65536)
    floor (22514.5)     		tx = 22514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596977233886719 × 216)
    floor (0.596977233886719 × 65536)
    floor (39123.5)     		ty = 39123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22514 / 39123 ti = "16/22514/39123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22514/39123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22514 ÷ 216
    22514 ÷ 65536     		x = 0.343536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39123 ÷ 216
    39123 ÷ 65536     		y = 0.596969604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.31292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98308994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596969604492188 × 2 - 1) × π
    -0.193939208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.609277994170914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98308994} λ = -0.98308994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609277994170914))-π/2
    2×atan(0.543743313225645)-π/2
    2×0.498026925253161-π/2
    0.996053850506323-1.57079632675     		φ = -0.57474248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98308994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.326904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57474248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.930318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22514 KachelY 39123 -0.98308994 -0.57474248 -56.326904 -32.930318
    Oben rechts KachelX + 1 22515 KachelY 39123 -0.98299406 -0.57474248 -56.321411 -32.930318
    Unten links KachelX 22514 KachelY + 1 39124 -0.98308994 -0.57482294 -56.326904 -32.934928
    Unten rechts KachelX + 1 22515 KachelY + 1 39124 -0.98299406 -0.57482294 -56.321411 -32.934928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57474248--0.57482294) × R
    8.04600000000599e-05 × 6371000     		dl = 512.610660000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57474248--0.57482294) × R
    8.04600000000599e-05 × 6371000     		dr = 512.610660000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98308994--0.98299406) × cos(-0.57474248) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.839332322928234 × 6371000     		do = 512.707391672807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98308994--0.98299406) × cos(-0.57482294) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.839288580653748 × 6371000     		du = 512.680671639699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57474248)-sin(-0.57482294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839332322928234-0.839288580653748)×R²
    abs(-0.98299406--0.98308994)×4.37422744860028e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.37422744860028e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.37422744860028e-05×40589641000000     		ar = 262812.426087372m²