Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22511 / 6169
↖ ↑ ↗
← N 73.943753°
E 67.313233°		 ← 337.86 m → N 73.943753°
E 67.324219°		 →
↑
337.92 m
↓
↑
337.92 m
↓
N 73.940714°
E 67.313233°		 ← 337.93 m →
114 181 m²		 N 73.940714°
E 67.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686996459960938 y=0.188278198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686996459960938 × 215)
    floor (0.686996459960938 × 32768)
    floor (22511.5)     		tx = 22511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188278198242188 × 215)
    floor (0.188278198242188 × 32768)
    floor (6169.5)     		ty = 6169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22511 / 6169 ti = "15/22511/6169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22511/6169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22511 ÷ 215
    22511 ÷ 32768     		x = 0.686981201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6169 ÷ 215
    6169 ÷ 32768     		y = 0.188262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686981201171875 × 2 - 1) × π
    0.37396240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17483754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188262939453125 × 2 - 1) × π
    0.62347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95870171847549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17483754} λ = 1.17483754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95870171847549))-π/2
    2×atan(7.09011612048494)-π/2
    2×1.4306791374598-π/2
    2.8613582749196-1.57079632675     		φ = 1.29056195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17483754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.313233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29056195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.943753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22511 KachelY 6169 1.17483754 1.29056195 67.313233 73.943753
    Oben rechts KachelX + 1 22512 KachelY 6169 1.17502928 1.29056195 67.324219 73.943753
    Unten links KachelX 22511 KachelY + 1 6170 1.17483754 1.29050891 67.313233 73.940714
    Unten rechts KachelX + 1 22512 KachelY + 1 6170 1.17502928 1.29050891 67.324219 73.940714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29056195-1.29050891) × R
    5.30400000000597e-05 × 6371000     		dl = 337.91784000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29056195-1.29050891) × R
    5.30400000000597e-05 × 6371000     		dr = 337.91784000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17483754-1.17502928) × cos(1.29056195) × R
    0.000191739999999996 × 0.27658089006495 × 6371000     		do = 337.864450134764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17483754-1.17502928) × cos(1.29050891) × R
    0.000191739999999996 × 0.276631860619457 × 6371000     		du = 337.926714517411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29056195)-sin(1.29050891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27658089006495-0.276631860619457)×R²
    abs(1.17502928-1.17483754)×5.09705545072014e-05×R²
    0.000191739999999996×5.09705545072014e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.09705545072014e-05×40589641000000     		ar = 114180.94535198m²