Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22510 / 39122
↖ ↑ ↗
← S 32.925707°
W 56.348877°		 ← 512.68 m → S 32.925707°
W 56.343384°		 →
↑
512.74 m
↓
↑
512.74 m
↓
S 32.930318°
W 56.348877°		 ← 512.65 m →
262 864 m²		 S 32.930318°
W 56.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343482971191406 y=0.596961975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343482971191406 × 216)
    floor (0.343482971191406 × 65536)
    floor (22510.5)     		tx = 22510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596961975097656 × 216)
    floor (0.596961975097656 × 65536)
    floor (39122.5)     		ty = 39122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22510 / 39122 ti = "16/22510/39122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22510/39122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22510 ÷ 216
    22510 ÷ 65536     		x = 0.343475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39122 ÷ 216
    39122 ÷ 65536     		y = 0.596954345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.31304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98347343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.19390869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.609182120371674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98347343} λ = -0.98347343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609182120371674))-π/2
    2×atan(0.543795446461961)-π/2
    2×0.498067161291044-π/2
    0.996134322582089-1.57079632675     		φ = -0.57466200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98347343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.348877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57466200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.925707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22510 KachelY 39122 -0.98347343 -0.57466200 -56.348877 -32.925707
    Oben rechts KachelX + 1 22511 KachelY 39122 -0.98337756 -0.57466200 -56.343384 -32.925707
    Unten links KachelX 22510 KachelY + 1 39123 -0.98347343 -0.57474248 -56.348877 -32.930318
    Unten rechts KachelX + 1 22511 KachelY + 1 39123 -0.98337756 -0.57474248 -56.343384 -32.930318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57466200--0.57474248) × R
    8.04799999999384e-05 × 6371000     		dl = 512.738079999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57466200--0.57474248) × R
    8.04799999999384e-05 × 6371000     		dr = 512.738079999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98347343--0.98337756) × cos(-0.57466200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839376070640063 × 6371000     		do = 512.680638377595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98347343--0.98337756) × cos(-0.57474248) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839332322928234 × 6371000     		du = 512.653917810245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57466200)-sin(-0.57474248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839376070640063-0.839332322928234)×R²
    abs(-0.98337756--0.98347343)×4.37477118291341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37477118291341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37477118291341e-05×40589641000000     		ar = 262864.035990412m²