Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2251 / 6553
↖ ↑ ↗
← S 72.724958°
W 81.079102°		 ← 1 451.09 m → S 72.724958°
W 81.035156°		 →
↑
1 450.55 m
↓
↑
1 450.55 m
↓
S 72.738003°
W 81.079102°		 ← 1 450.03 m →
2 104 104 m²		 S 72.738003°
W 81.035156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27484130859375 y=0.79998779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27484130859375 × 213)
    floor (0.27484130859375 × 8192)
    floor (2251.5)     		tx = 2251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79998779296875 × 213)
    floor (0.79998779296875 × 8192)
    floor (6553.5)     		ty = 6553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2251 / 6553 ti = "13/2251/6553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2251/6553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2251 ÷ 213
    2251 ÷ 8192     		x = 0.2747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6553 ÷ 213
    6553 ÷ 8192     		y = 0.7999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41509728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88449539786365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41509728} λ = -1.41509728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88449539786365))-π/2
    2×atan(0.15190569203004)-π/2
    2×0.150753182046752-π/2
    0.301506364093504-1.57079632675     		φ = -1.26928996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41509728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.079102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26928996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.724958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2251 KachelY 6553 -1.41509728 -1.26928996 -81.079102 -72.724958
    Oben rechts KachelX + 1 2252 KachelY 6553 -1.41433029 -1.26928996 -81.035156 -72.724958
    Unten links KachelX 2251 KachelY + 1 6554 -1.41509728 -1.26951764 -81.079102 -72.738003
    Unten rechts KachelX + 1 2252 KachelY + 1 6554 -1.41433029 -1.26951764 -81.035156 -72.738003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26928996--1.26951764) × R
    0.000227679999999841 × 6371000     		dl = 1450.54927999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26928996--1.26951764) × R
    0.000227679999999841 × 6371000     		dr = 1450.54927999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41509728--1.41433029) × cos(-1.26928996) × R
    0.000766989999999801 × 0.296958957993829 × 6371000     		do = 1451.08795564186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41509728--1.41433029) × cos(-1.26951764) × R
    0.000766989999999801 × 0.296741540888145 × 6371000     		du = 1450.02554841381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26928996)-sin(-1.26951764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296958957993829-0.296741540888145)×R²
    abs(-1.41433029--1.41509728)×0.000217417105684015×R²
    0.000766989999999801×0.000217417105684015×6371000²
    0.000766989999999801×0.000217417105684015×40589641000000     		ar = 2104104.06134221m²