Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22508 / 6172
↖ ↑ ↗
← N 73.934634°
E 67.280273°		 ← 338.07 m → N 73.934634°
E 67.291260°		 →
↑
338.05 m
↓
↑
338.05 m
↓
N 73.931594°
E 67.280273°		 ← 338.13 m →
114 293 m²		 N 73.931594°
E 67.291260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686904907226562 y=0.188369750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686904907226562 × 215)
    floor (0.686904907226562 × 32768)
    floor (22508.5)     		tx = 22508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188369750976562 × 215)
    floor (0.188369750976562 × 32768)
    floor (6172.5)     		ty = 6172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22508 / 6172 ti = "15/22508/6172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22508/6172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22508 ÷ 215
    22508 ÷ 32768     		x = 0.6868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6172 ÷ 215
    6172 ÷ 32768     		y = 0.1883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6868896484375 × 2 - 1) × π
    0.373779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17426229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1883544921875 × 2 - 1) × π
    0.623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95812647568005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17426229} λ = 1.17426229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95812647568005))-π/2
    2×atan(7.08603875511776)-π/2
    2×1.43059956488549-π/2
    2.86119912977097-1.57079632675     		φ = 1.29040280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17426229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.280273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29040280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.934634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22508 KachelY 6172 1.17426229 1.29040280 67.280273 73.934634
    Oben rechts KachelX + 1 22509 KachelY 6172 1.17445404 1.29040280 67.291260 73.934634
    Unten links KachelX 22508 KachelY + 1 6173 1.17426229 1.29034974 67.280273 73.931594
    Unten rechts KachelX + 1 22509 KachelY + 1 6173 1.17445404 1.29034974 67.291260 73.931594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29040280-1.29034974) × R
    5.30600000001602e-05 × 6371000     		dl = 338.045260001021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29040280-1.29034974) × R
    5.30600000001602e-05 × 6371000     		dr = 338.045260001021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17426229-1.17445404) × cos(1.29040280) × R
    0.000191750000000157 × 0.27673382822203 × 6371000     		do = 338.068906359066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17426229-1.17445404) × cos(1.29034974) × R
    0.000191750000000157 × 0.276784815659608 × 6371000     		du = 338.131194614069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29040280)-sin(1.29034974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27673382822203-0.276784815659608)×R²
    abs(1.17445404-1.17426229)×5.09874375785313e-05×R²
    0.000191750000000157×5.09874375785313e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.09874375785313e-05×40589641000000     		ar = 114293.119499634m²