Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22508 / 38950
↖ ↑ ↗
← S 32.129105°
W 56.359863°		 ← 517.25 m → S 32.129105°
W 56.354370°		 →
↑
517.26 m
↓
↑
517.26 m
↓
S 32.133757°
W 56.359863°		 ← 517.22 m →
267 545 m²		 S 32.133757°
W 56.354370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343452453613281 y=0.594337463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343452453613281 × 216)
    floor (0.343452453613281 × 65536)
    floor (22508.5)     		tx = 22508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594337463378906 × 216)
    floor (0.594337463378906 × 65536)
    floor (38950.5)     		ty = 38950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22508 / 38950 ti = "16/22508/38950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22508/38950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22508 ÷ 216
    22508 ÷ 65536     		x = 0.34344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38950 ÷ 216
    38950 ÷ 65536     		y = 0.594329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98366518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594329833984375 × 2 - 1) × π
    -0.18865966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.592691826902374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98366518} λ = -0.98366518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592691826902374))-π/2
    2×atan(0.552837138144869)-π/2
    2×0.505018826115626-π/2
    1.01003765223125-1.57079632675     		φ = -0.56075867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98366518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56075867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.129105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22508 KachelY 38950 -0.98366518 -0.56075867 -56.359863 -32.129105
    Oben rechts KachelX + 1 22509 KachelY 38950 -0.98356931 -0.56075867 -56.354370 -32.129105
    Unten links KachelX 22508 KachelY + 1 38951 -0.98366518 -0.56083986 -56.359863 -32.133757
    Unten rechts KachelX + 1 22509 KachelY + 1 38951 -0.98356931 -0.56083986 -56.354370 -32.133757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56075867--0.56083986) × R
    8.11899999999532e-05 × 6371000     		dl = 517.261489999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56075867--0.56083986) × R
    8.11899999999532e-05 × 6371000     		dr = 517.261489999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98366518--0.98356931) × cos(-0.56075867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846851872187691 × 6371000     		do = 517.246766533833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98366518--0.98356931) × cos(-0.56083986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84680869021372 × 6371000     		du = 517.220391512248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56075867)-sin(-0.56083986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846851872187691-0.84680869021372)×R²
    abs(-0.98356931--0.98366518)×4.31819739704631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31819739704631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31819739704631e-05×40589641000000     		ar = 267545.011910233m²