Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22507 / 38948
↖ ↑ ↗
← S 32.119801°
W 56.365356°		 ← 517.30 m → S 32.119801°
W 56.359863°		 →
↑
517.33 m
↓
↑
517.33 m
↓
S 32.124453°
W 56.365356°		 ← 517.27 m →
267 605 m²		 S 32.124453°
W 56.359863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343437194824219 y=0.594306945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343437194824219 × 216)
    floor (0.343437194824219 × 65536)
    floor (22507.5)     		tx = 22507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594306945800781 × 216)
    floor (0.594306945800781 × 65536)
    floor (38948.5)     		ty = 38948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22507 / 38948 ti = "16/22507/38948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22507/38948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22507 ÷ 216
    22507 ÷ 65536     		x = 0.343429565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38948 ÷ 216
    38948 ÷ 65536     		y = 0.59429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343429565429688 × 2 - 1) × π
    -0.313140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98376105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.592500079303894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98376105} λ = -0.98376105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592500079303894))-π/2
    2×atan(0.55294315350223)-π/2
    2×0.505100021161356-π/2
    1.01020004232271-1.57079632675     		φ = -0.56059628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98376105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.365356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56059628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.119801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22507 KachelY 38948 -0.98376105 -0.56059628 -56.365356 -32.119801
    Oben rechts KachelX + 1 22508 KachelY 38948 -0.98366518 -0.56059628 -56.359863 -32.119801
    Unten links KachelX 22507 KachelY + 1 38949 -0.98376105 -0.56067748 -56.365356 -32.124453
    Unten rechts KachelX + 1 22508 KachelY + 1 38949 -0.98366518 -0.56067748 -56.359863 -32.124453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56059628--0.56067748) × R
    8.12000000000035e-05 × 6371000     		dl = 517.325200000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56059628--0.56067748) × R
    8.12000000000035e-05 × 6371000     		dr = 517.325200000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98376105--0.98366518) × cos(-0.56059628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846938224705385 × 6371000     		do = 517.299509595549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98376105--0.98366518) × cos(-0.56067748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846895048579369 × 6371000     		du = 517.273138145823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56059628)-sin(-0.56067748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846938224705385-0.846895048579369)×R²
    abs(-0.98366518--0.98376105)×4.3176126015454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3176126015454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3176126015454e-05×40589641000000     		ar = 267605.251100768m²