Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22506 / 39001
↖ ↑ ↗
← S 32.366043°
W 56.370850°		 ← 515.95 m → S 32.366043°
W 56.365356°		 →
↑
515.92 m
↓
↑
515.92 m
↓
S 32.370683°
W 56.370850°		 ← 515.93 m →
266 185 m²		 S 32.370683°
W 56.365356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343421936035156 y=0.595115661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343421936035156 × 216)
    floor (0.343421936035156 × 65536)
    floor (22506.5)     		tx = 22506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595115661621094 × 216)
    floor (0.595115661621094 × 65536)
    floor (39001.5)     		ty = 39001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22506 / 39001 ti = "16/22506/39001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22506/39001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22506 ÷ 216
    22506 ÷ 65536     		x = 0.343414306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39001 ÷ 216
    39001 ÷ 65536     		y = 0.595108032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.31317138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98385693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595108032226562 × 2 - 1) × π
    -0.190216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.59758139066362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98385693} λ = -0.98385693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.59758139066362))-π/2
    2×atan(0.550140603519674)-π/2
    2×0.502951153478127-π/2
    1.00590230695625-1.57079632675     		φ = -0.56489402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98385693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.370850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56489402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.366043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22506 KachelY 39001 -0.98385693 -0.56489402 -56.370850 -32.366043
    Oben rechts KachelX + 1 22507 KachelY 39001 -0.98376105 -0.56489402 -56.365356 -32.366043
    Unten links KachelX 22506 KachelY + 1 39002 -0.98385693 -0.56497500 -56.370850 -32.370683
    Unten rechts KachelX + 1 22507 KachelY + 1 39002 -0.98376105 -0.56497500 -56.365356 -32.370683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56489402--0.56497500) × R
    8.09800000000083e-05 × 6371000     		dl = 515.923580000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56489402--0.56497500) × R
    8.09800000000083e-05 × 6371000     		dr = 515.923580000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98385693--0.98376105) × cos(-0.56489402) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.84464533904832 × 6371000     		do = 515.952855432429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98385693--0.98376105) × cos(-0.56497500) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.844601985554818 × 6371000     		du = 515.926372886761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56489402)-sin(-0.56497500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84464533904832-0.844601985554818)×R²
    abs(-0.98376105--0.98385693)×4.33534935012636e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.33534935012636e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.33534935012636e-05×40589641000000     		ar = 266185.412946761m²