Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22505 / 39002
↖ ↑ ↗
← S 32.370683°
W 56.376343°		 ← 515.87 m → S 32.370683°
W 56.370850°		 →
↑
515.86 m
↓
↑
515.86 m
↓
S 32.375322°
W 56.376343°		 ← 515.85 m →
266 111 m²		 S 32.375322°
W 56.370850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343406677246094 y=0.595130920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343406677246094 × 216)
    floor (0.343406677246094 × 65536)
    floor (22505.5)     		tx = 22505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595130920410156 × 216)
    floor (0.595130920410156 × 65536)
    floor (39002.5)     		ty = 39002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22505 / 39002 ti = "16/22505/39002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22505/39002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22505 ÷ 216
    22505 ÷ 65536     		x = 0.343399047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39002 ÷ 216
    39002 ÷ 65536     		y = 0.595123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343399047851562 × 2 - 1) × π
    -0.313201904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98395280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.19024658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.59767726446286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98395280} λ = -0.98395280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.59767726446286))-π/2
    2×atan(0.550087861978205)-π/2
    2×0.502910664838358-π/2
    1.00582132967672-1.57079632675     		φ = -0.56497500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98395280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.376343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56497500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.370683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22505 KachelY 39002 -0.98395280 -0.56497500 -56.376343 -32.370683
    Oben rechts KachelX + 1 22506 KachelY 39002 -0.98385693 -0.56497500 -56.370850 -32.370683
    Unten links KachelX 22505 KachelY + 1 39003 -0.98395280 -0.56505597 -56.376343 -32.375322
    Unten rechts KachelX + 1 22506 KachelY + 1 39003 -0.98385693 -0.56505597 -56.370850 -32.375322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56497500--0.56505597) × R
    8.0969999999958e-05 × 6371000     		dl = 515.859869999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56497500--0.56505597) × R
    8.0969999999958e-05 × 6371000     		dr = 515.859869999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98395280--0.98385693) × cos(-0.56497500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844601985554818 × 6371000     		do = 515.872563294588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98395280--0.98385693) × cos(-0.56505597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84455863187725 × 6371000     		du = 515.846083398545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56497500)-sin(-0.56505597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844601985554818-0.84455863187725)×R²
    abs(-0.98385693--0.98395280)×4.33536775679144e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33536775679144e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33536775679144e-05×40589641000000     		ar = 266111.12362488m²