Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22503 / 39131
↖ ↑ ↗
← S 32.967195°
W 56.387329°		 ← 512.44 m → S 32.967195°
W 56.381836°		 →
↑
512.48 m
↓
↑
512.48 m
↓
S 32.971804°
W 56.387329°		 ← 512.41 m →
262 610 m²		 S 32.971804°
W 56.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343376159667969 y=0.597099304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343376159667969 × 216)
    floor (0.343376159667969 × 65536)
    floor (22503.5)     		tx = 22503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597099304199219 × 216)
    floor (0.597099304199219 × 65536)
    floor (39131.5)     		ty = 39131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22503 / 39131 ti = "16/22503/39131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22503/39131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22503 ÷ 216
    22503 ÷ 65536     		x = 0.343368530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39131 ÷ 216
    39131 ÷ 65536     		y = 0.597091674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343368530273438 × 2 - 1) × π
    -0.313262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98414455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597091674804688 × 2 - 1) × π
    -0.194183349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.610044984564835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98414455} λ = -0.98414455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610044984564835))-π/2
    2×atan(0.543326427221859)-π/2
    2×0.497705112454749-π/2
    0.995410224909497-1.57079632675     		φ = -0.57538610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98414455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.387329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57538610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.967195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22503 KachelY 39131 -0.98414455 -0.57538610 -56.387329 -32.967195
    Oben rechts KachelX + 1 22504 KachelY 39131 -0.98404868 -0.57538610 -56.381836 -32.967195
    Unten links KachelX 22503 KachelY + 1 39132 -0.98414455 -0.57546654 -56.387329 -32.971804
    Unten rechts KachelX + 1 22504 KachelY + 1 39132 -0.98404868 -0.57546654 -56.381836 -32.971804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57538610--0.57546654) × R
    8.04399999999594e-05 × 6371000     		dl = 512.483239999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57538610--0.57546654) × R
    8.04399999999594e-05 × 6371000     		dr = 512.483239999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98414455--0.98404868) × cos(-0.57538610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838982265262644 × 6371000     		do = 512.440106869307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98414455--0.98404868) × cos(-0.57546654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838938490417496 × 6371000     		du = 512.413369729257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57538610)-sin(-0.57546654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838982265262644-0.838938490417496)×R²
    abs(-0.98404868--0.98414455)×4.3774845147837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3774845147837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3774845147837e-05×40589641000000     		ar = 262610.115247658m²