Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22503 / 38943
↖ ↑ ↗
← S 32.096536°
W 56.387329°		 ← 517.43 m → S 32.096536°
W 56.381836°		 →
↑
517.39 m
↓
↑
517.39 m
↓
S 32.101189°
W 56.387329°		 ← 517.40 m →
267 706 m²		 S 32.101189°
W 56.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343376159667969 y=0.594230651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343376159667969 × 216)
    floor (0.343376159667969 × 65536)
    floor (22503.5)     		tx = 22503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594230651855469 × 216)
    floor (0.594230651855469 × 65536)
    floor (38943.5)     		ty = 38943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22503 / 38943 ti = "16/22503/38943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22503/38943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22503 ÷ 216
    22503 ÷ 65536     		x = 0.343368530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38943 ÷ 216
    38943 ÷ 65536     		y = 0.594223022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343368530273438 × 2 - 1) × π
    -0.313262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98414455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594223022460938 × 2 - 1) × π
    -0.188446044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.592020710307694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98414455} λ = -0.98414455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592020710307694))-π/2
    2×atan(0.553208280848518)-π/2
    2×0.505303044990404-π/2
    1.01060608998081-1.57079632675     		φ = -0.56019024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98414455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.387329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56019024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.096536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22503 KachelY 38943 -0.98414455 -0.56019024 -56.387329 -32.096536
    Oben rechts KachelX + 1 22504 KachelY 38943 -0.98404868 -0.56019024 -56.381836 -32.096536
    Unten links KachelX 22503 KachelY + 1 38944 -0.98414455 -0.56027145 -56.387329 -32.101189
    Unten rechts KachelX + 1 22504 KachelY + 1 38944 -0.98404868 -0.56027145 -56.381836 -32.101189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56019024--0.56027145) × R
    8.12100000000537e-05 × 6371000     		dl = 517.388910000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56019024--0.56027145) × R
    8.12100000000537e-05 × 6371000     		dr = 517.388910000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98414455--0.98404868) × cos(-0.56019024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847154042820119 × 6371000     		do = 517.431328660574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98414455--0.98404868) × cos(-0.56027145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847110889306722 × 6371000     		du = 517.404971022358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56019024)-sin(-0.56027145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847154042820119-0.847110889306722)×R²
    abs(-0.98404868--0.98414455)×4.31535133976757e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31535133976757e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31535133976757e-05×40589641000000     		ar = 267706.412708m²