Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22502 / 39126
↖ ↑ ↗
← S 32.944149°
W 56.392822°		 ← 512.57 m → S 32.944149°
W 56.387329°		 →
↑
512.55 m
↓
↑
512.55 m
↓
S 32.948758°
W 56.392822°		 ← 512.55 m →
262 711 m²		 S 32.948758°
W 56.387329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343360900878906 y=0.597023010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343360900878906 × 216)
    floor (0.343360900878906 × 65536)
    floor (22502.5)     		tx = 22502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597023010253906 × 216)
    floor (0.597023010253906 × 65536)
    floor (39126.5)     		ty = 39126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22502 / 39126 ti = "16/22502/39126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22502/39126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22502 ÷ 216
    22502 ÷ 65536     		x = 0.343353271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39126 ÷ 216
    39126 ÷ 65536     		y = 0.597015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.31329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98424042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.19403076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.609565615568634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98424042} λ = -0.98424042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609565615568634))-π/2
    2×atan(0.543586943502611)-π/2
    2×0.49790622972211-π/2
    0.99581245944422-1.57079632675     		φ = -0.57498387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98424042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.392822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57498387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.944149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22502 KachelY 39126 -0.98424042 -0.57498387 -56.392822 -32.944149
    Oben rechts KachelX + 1 22503 KachelY 39126 -0.98414455 -0.57498387 -56.387329 -32.944149
    Unten links KachelX 22502 KachelY + 1 39127 -0.98424042 -0.57506432 -56.392822 -32.948758
    Unten rechts KachelX + 1 22503 KachelY + 1 39127 -0.98414455 -0.57506432 -56.387329 -32.948758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57498387--0.57506432) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dl = 512.546950000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57498387--0.57506432) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dr = 512.546950000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98424042--0.98414455) × cos(-0.57498387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839201074366658 × 6371000     		do = 512.573752794004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98424042--0.98414455) × cos(-0.57506432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839157321231046 × 6371000     		du = 512.547028913873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57498387)-sin(-0.57506432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839201074366658-0.839157321231046)×R²
    abs(-0.98414455--0.98424042)×4.37531356122234e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37531356122234e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37531356122234e-05×40589641000000     		ar = 262711.265164745m²