Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22502 / 39119
↖ ↑ ↗
← S 32.911874°
W 56.392822°		 ← 512.76 m → S 32.911874°
W 56.387329°		 →
↑
512.80 m
↓
↑
512.80 m
↓
S 32.916485°
W 56.392822°		 ← 512.73 m →
262 938 m²		 S 32.916485°
W 56.387329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343360900878906 y=0.596916198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343360900878906 × 216)
    floor (0.343360900878906 × 65536)
    floor (22502.5)     		tx = 22502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596916198730469 × 216)
    floor (0.596916198730469 × 65536)
    floor (39119.5)     		ty = 39119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22502 / 39119 ti = "16/22502/39119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22502/39119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22502 ÷ 216
    22502 ÷ 65536     		x = 0.343353271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39119 ÷ 216
    39119 ÷ 65536     		y = 0.596908569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.31329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98424042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596908569335938 × 2 - 1) × π
    -0.193817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.608894498973953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98424042} λ = -0.98424042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608894498973953))-π/2
    2×atan(0.543951876163533)-π/2
    2×0.498187881985173-π/2
    0.996375763970346-1.57079632675     		φ = -0.57442056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98424042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.392822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57442056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.911874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22502 KachelY 39119 -0.98424042 -0.57442056 -56.392822 -32.911874
    Oben rechts KachelX + 1 22503 KachelY 39119 -0.98414455 -0.57442056 -56.387329 -32.911874
    Unten links KachelX 22502 KachelY + 1 39120 -0.98424042 -0.57450105 -56.392822 -32.916485
    Unten rechts KachelX + 1 22503 KachelY + 1 39120 -0.98414455 -0.57450105 -56.387329 -32.916485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57442056--0.57450105) × R
    8.04899999999886e-05 × 6371000     		dl = 512.801789999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57442056--0.57450105) × R
    8.04899999999886e-05 × 6371000     		dr = 512.801789999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98424042--0.98414455) × cos(-0.57442056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839507281154431 × 6371000     		do = 512.760780155067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98424042--0.98414455) × cos(-0.57450105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839463544319285 × 6371000     		du = 512.734066231061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57442056)-sin(-0.57450105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839507281154431-0.839463544319285)×R²
    abs(-0.98414455--0.98424042)×4.37368351462464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37368351462464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37368351462464e-05×40589641000000     		ar = 262937.796573127m²