Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22501 / 39110
↖ ↑ ↗
← S 32.870360°
W 56.398316°		 ← 513.05 m → S 32.870360°
W 56.392822°		 →
↑
512.99 m
↓
↑
512.99 m
↓
S 32.874974°
W 56.398316°		 ← 513.03 m →
263 187 m²		 S 32.874974°
W 56.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343345642089844 y=0.596778869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343345642089844 × 216)
    floor (0.343345642089844 × 65536)
    floor (22501.5)     		tx = 22501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596778869628906 × 216)
    floor (0.596778869628906 × 65536)
    floor (39110.5)     		ty = 39110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22501 / 39110 ti = "16/22501/39110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22501/39110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22501 ÷ 216
    22501 ÷ 65536     		x = 0.343338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39110 ÷ 216
    39110 ÷ 65536     		y = 0.596771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343338012695312 × 2 - 1) × π
    -0.313323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98433630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.19354248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.608031634780792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98433630} λ = -0.98433630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608031634780792))-π/2
    2×atan(0.544421435314032)-π/2
    2×0.498550157256421-π/2
    0.997100314512841-1.57079632675     		φ = -0.57369601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98433630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.398316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57369601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.870360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22501 KachelY 39110 -0.98433630 -0.57369601 -56.398316 -32.870360
    Oben rechts KachelX + 1 22502 KachelY 39110 -0.98424042 -0.57369601 -56.392822 -32.870360
    Unten links KachelX 22501 KachelY + 1 39111 -0.98433630 -0.57377653 -56.398316 -32.874974
    Unten rechts KachelX + 1 22502 KachelY + 1 39111 -0.98424042 -0.57377653 -56.392822 -32.874974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57369601--0.57377653) × R
    8.05199999999173e-05 × 6371000     		dl = 512.992919999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57369601--0.57377653) × R
    8.05199999999173e-05 × 6371000     		dr = 512.992919999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98433630--0.98424042) × cos(-0.57369601) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.839900743871419 × 6371000     		do = 513.054612447215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98433630--0.98424042) × cos(-0.57377653) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.839857039721495 × 6371000     		du = 513.027915702551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57369601)-sin(-0.57377653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839900743871419-0.839857039721495)×R²
    abs(-0.98424042--0.98433630)×4.37041499249391e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.37041499249391e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.37041499249391e-05×40589641000000     		ar = 263186.536280142m²