Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22500 / 39128
↖ ↑ ↗
← S 32.953368°
W 56.403809°		 ← 512.52 m → S 32.953368°
W 56.398316°		 →
↑
512.55 m
↓
↑
512.55 m
↓
S 32.957977°
W 56.403809°		 ← 512.49 m →
262 684 m²		 S 32.957977°
W 56.398316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343330383300781 y=0.597053527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343330383300781 × 216)
    floor (0.343330383300781 × 65536)
    floor (22500.5)     		tx = 22500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597053527832031 × 216)
    floor (0.597053527832031 × 65536)
    floor (39128.5)     		ty = 39128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22500 / 39128 ti = "16/22500/39128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22500/39128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22500 ÷ 216
    22500 ÷ 65536     		x = 0.34332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39128 ÷ 216
    39128 ÷ 65536     		y = 0.5970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.3133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98443217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.609757363167114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98443217} λ = -0.98443217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609757363167114))-π/2
    2×atan(0.543482722004059)-π/2
    2×0.497825776521752-π/2
    0.995651553043504-1.57079632675     		φ = -0.57514477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98443217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57514477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.953368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22500 KachelY 39128 -0.98443217 -0.57514477 -56.403809 -32.953368
    Oben rechts KachelX + 1 22501 KachelY 39128 -0.98433630 -0.57514477 -56.398316 -32.953368
    Unten links KachelX 22500 KachelY + 1 39129 -0.98443217 -0.57522522 -56.403809 -32.957977
    Unten rechts KachelX + 1 22501 KachelY + 1 39129 -0.98433630 -0.57522522 -56.398316 -32.957977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57514477--0.57522522) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dl = 512.546950000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57514477--0.57522522) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dr = 512.546950000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98443217--0.98433630) × cos(-0.57514477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839113562664238 × 6371000     		do = 512.520301716434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98443217--0.98433630) × cos(-0.57522522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839069798666516 × 6371000     		du = 512.493571201859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57514477)-sin(-0.57522522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839113562664238-0.839069798666516)×R²
    abs(-0.98433630--0.98443217)×4.37639977213244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37639977213244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37639977213244e-05×40589641000000     		ar = 262683.86727802m²