Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22500 / 39124
↖ ↑ ↗
← S 32.934928°
W 56.403809°		 ← 512.63 m → S 32.934928°
W 56.398316°		 →
↑
512.67 m
↓
↑
512.67 m
↓
S 32.939539°
W 56.403809°		 ← 512.60 m →
262 804 m²		 S 32.939539°
W 56.398316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343330383300781 y=0.596992492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343330383300781 × 216)
    floor (0.343330383300781 × 65536)
    floor (22500.5)     		tx = 22500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596992492675781 × 216)
    floor (0.596992492675781 × 65536)
    floor (39124.5)     		ty = 39124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22500 / 39124 ti = "16/22500/39124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22500/39124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22500 ÷ 216
    22500 ÷ 65536     		x = 0.34332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39124 ÷ 216
    39124 ÷ 65536     		y = 0.59698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.3133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98443217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.1939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.609373867970154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98443217} λ = -0.98443217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609373867970154))-π/2
    2×atan(0.543691184987301)-π/2
    2×0.497986691312277-π/2
    0.995973382624554-1.57079632675     		φ = -0.57482294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98443217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57482294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.934928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22500 KachelY 39124 -0.98443217 -0.57482294 -56.403809 -32.934928
    Oben rechts KachelX + 1 22501 KachelY 39124 -0.98433630 -0.57482294 -56.398316 -32.934928
    Unten links KachelX 22500 KachelY + 1 39125 -0.98443217 -0.57490341 -56.403809 -32.939539
    Unten rechts KachelX + 1 22501 KachelY + 1 39125 -0.98433630 -0.57490341 -56.398316 -32.939539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57482294--0.57490341) × R
    8.04699999999992e-05 × 6371000     		dl = 512.674369999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57482294--0.57490341) × R
    8.04699999999992e-05 × 6371000     		dr = 512.674369999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98443217--0.98433630) × cos(-0.57482294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839288580653748 × 6371000     		do = 512.627200563957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98443217--0.98433630) × cos(-0.57490341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839244827508329 × 6371000     		du = 512.600476677835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57482294)-sin(-0.57490341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839288580653748-0.839244827508329)×R²
    abs(-0.98433630--0.98443217)×4.37531454193785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37531454193785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37531454193785e-05×40589641000000     		ar = 262803.97690994m²